Fehlerabschätzung eines Taylorpolynoms

08.04.2011, 14:48

Martin L

Fehlerabschätzung eines Taylorpolynoms

Hallo

ich habe aktuell ein wahrscheinlich eher kleines Problem.
Wir sollen das Taylorpolynom 3. Ordnung von ln(x) berechnen um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x0 = 2 \end{eqnarray*}$ . Das klappt auch und ist wohl auch soweit richtig.

Jetzt soll der Fehler abgeschätzt werden, wenn $\begin{eqnarray*} |x-x0| <0,1 \end{eqnarray*}$ ist. Da ja $\begin{eqnarray*} x0 = 2 \end{eqnarray*}$ ist muss x zwischen 1,9 und 2,1 liegen.

Jetzt existiert ja zwischen x und x0 ein phi abhängig von x, so dass der Fehler folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{(n+1)} (\phi_x)}{(n+1)!} * (x-x_0)^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

Das ist ja die Lagrange'sche Darstellung des Rests.

So. jetzt kann man ja schon mal x0 = 2 und (n+1) = 4 einsetzen dann erhält man für den Fehler ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{4} (\phi_x)}{(4)!} * (x-2)^{4} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Jetzt haben wir in der Vorlesung aber einfach x fest gesetzt ohne was dazu zu sagen und dann geguckt für welches $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ der Fehler am größten wird und dann hatten wir unsere Abschätzung. Theoretisch müsste man aber doch jedes x und abhängig davon jedes $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ ausprobieren oder?
Diesen einen Schritt habe ich nicht verstanden, warum man das x einfach gesetzt hat. Ich schreibe jetzt mal nicht das ganze Beispiel aus der Vorlesung hier ab, das könnte ich aber zur Not noch machen. Vielleicht weiß aber so schon jemand Rat.

Gruß
Martin

08.04.2011, 15:59

klarsoweit

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RE: Fehlerabschätzung eines Taylorpolynoms
Im Prinzip schätzt man (in diesem Fall) die 4. Ableitung nach oben ab. Dazu müßte man aber erstmal die 4. Ableitung haben. smile

08.04.2011, 18:54

Martin L

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ja, die vierte Ableitung habe ich. Aber man schätzt den Fehler ja in einem Intervall um x0 ab.

Angenommen in meinem Fall ist x0 = 2 und der Fehler soll abgeschätzt werden für alle x für die gilt |x-x0| < 0,1.

Das wären dann ja alle x zwischen 1,9 und 2,1.

Jetzt taucht ja in der Ableitung sowohl das $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ auf, wie auch das x hinten in der Klammer. $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ muss zwischen x0 und x liegen aber beides ist ja variabel.

Wenn ich jetzt nur die 4. Ableitung abschätze, dann muss ich dafür ja ein x fest wählen, so dass ich mein $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ welches ja zwischen x und x_0 liegen muss wählen kann.

Die Frage ist, was jetzt wichtiger ist. wenn im einfachsten Falle der Fehler (nur als Beispiel) x + 1/ $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ ist. x kann wieder zwischen 1,9 und 2,1 liegen und x0 ist = 2.

Dann wäre ja der Bruch hinten am größten wenn $\begin{eqnarray*} \phi_x = 1,9 \end{eqnarray*}$ ist. Dafür muss aber auch x = 1,9 sein. Dann hätte man 1,9 + 1/1,9 = 2,426 als Fehler. Wenn man jetzt aber x = 2,1 wählt und $\begin{eqnarray*} \phi_x = 2 \end{eqnarray*}$ dann hat man als Fehler 2,6. Also eine bessere Abschätzung nach oben obwohl es nicht die Ableitung war (der Teil mit dem $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ hier nur $\begin{eqnarray*} \phi_x \end{eqnarray*}$ ) deren Maximalwert man betrachtet hat.

Das ist halt meine Frage. Wie findet man heraus, ob es wichtiger ist ein hohes oder kleines x zu wählen auch wenn dann die vierte Ableitung nicht maximal wird, oder ob es wichtiger ist die Ableitung zu betrachten?
Oder muss man wirklich beides betrachten?

Gruß
Martin

08.04.2011, 20:24

Dopap

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ich denke, du machst dir zuviele Gedanken.

die vierte Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac {-1} {4x^4} \end{eqnarray*}$

ist betragsmässig am grössten, wenn x=1.9 ist.
der Rest ist am grössten, wenn x=1.9 oder x=2.1 ist (egal)
Beides multiplizieren. Betrag. fertig.

Es ist nicht notwendig,dass beide Faktoren an derselben Stelle ausgewertet werden.
Das ist der Vorteil einer Abschätzung...

08.04.2011, 22:56

Martin L

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Ja klar, in diesem Fall ist es so. Ich wollte nur wissen ob das im allgemeinen Fall auch so ist oder ob man eventuell bei einer anderen Aufgabe und einem anderen Taylorpolynom eventuell nicht nur die Ableitung sondern auch die einschränkende Wahl von x irgendwie berücksichtigen muss.

Gruß
Martin

09.04.2011, 00:22

Dopap

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Zitat:

Original von Martin L
.... anderen Taylorpolynom eventuell nicht nur die Ableitung sondern auch die einschränkende Wahl von x irgendwie berücksichtigen muss.

Nein musst du nicht.
Wir sind hier im Bereich der numerischen Analysis.
Du musst einmal die Logik der Prozedur verstehen:

Zu meiner Zeit, als es noch keine Taschenrechner, evtl nur Multiplikationsmaschinen gab, war die Möglichkeit der Berechnung von exotischen Funktionen auf die Polynomapproximation beschränkt. Das ging ganz gut, da diese per HORNER gut auswertbar waren.

Eine unsinnige Suche nach dem "wirklichen" Fehler des Restgliedes hätte mehr Zeit verschlungen wie die Funktionsberechnung.... wer es genauer wollte hat eben noch ein Taylorglied hinzugenommen...

Ein Programm für ln(x) hört nicht auf, wenn die Restgliedabschätzung erfüllt wird, sondern wenn die Folgeglieder in Summe unter Vorgabe liegen!

hat dir das den Blick auf's Wesentliche geschärft?

09.04.2011, 07:45

Martin L

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Mhh ja, da hab ich auch noch eine Frage zu. Ich dachte auch erst das dient der Vereinfachung. Aber das erste Glied des Taylorpolynoms ist ja gerade die Funktion am Entwicklungspunkt. Also muss man dann diese "exotische" Funktion sowieso einmal berechnen.

Läuft das dann so ab, dass die für ein leiches x0 in der Nähe vom gewünschten x berechnet wird um dann x mit einem geringen Fehler anzugeben?

Bei der Fehlerabschätzung weiß ich nicht, ob es wichtig ist, dass wir dabei nicht mehr Zeit benötigen als in der Praxis sinnvoll. Wenn die Aufgabe "Schätzen sie den Fehler ab" heißt, dann denke ich, dass man auch den maximalen Fehler finden muss.

Ich werd mich aber heut Mittag noch mal an ein paar Beispiele setzen, vielleicht komm ich dann besser damit zurecht. Oder entdecke, dass mein Problem eigentlich gar keins ist ;-)

Ich glaub ich habs kapiert. Irgendwie hab ich mir mein Leben zu schwer gemacht

Gruß
Martin

12.04.2011, 16:18

Hans Peter

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Hallo. Ich bin gerade auch bei dieser Aufgabe und ich habe für meine 4. Abl. folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{-6}{x^{4} } \end{eqnarray*}$ was mache ich falsch?
Nebenbei: meine 3. Ableitung ist: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x^{3} } \end{eqnarray*}$ .

Danke schon mal, euer Hans.

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