Relativ-Topologie

08.04.2011, 16:29

Gast11022013

Relativ-Topologie

Meine Frage:
Sei (X,d) ein metrischer Raum (zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , d=euklidischer Abstand) und sei $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge, versehen mit der induzierten Metrik. Eine Menge $\begin{eqnarray*} U\subseteq M \end{eqnarray*}$ heißt offen relativ M, falls U offen in dem metrischen Raum (M,d) ist. Analog wird abgeschlossen relativ M, kompakt relativ M usw. definiert.

Zeigen Sie:

(i) Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} U\subseteq M \end{eqnarray*}$ ist offen relativ M genau dann, wenn es eine offene Menge $\begin{eqnarray*} V\subseteq X \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} U=M\cap V \end{eqnarray*}$ .

(ii) Ist $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ offen, so sind die in M offenen Mengen genau die (in X) offenen Teilmengen von M.

(iii) Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} K\subseteq M\subseteq X \end{eqnarray*}$ ist kompakt relativ M genau dann, wenn K in X kompakt ist.

Meine Ideen:
Wer kann mir (vor allem bei (ii) und (iii)) helfen?

Meine Idee zu (i):

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":
Es gelte $\begin{eqnarray*} U=M\cap V \end{eqnarray*}$ mit offenem $\begin{eqnarray*} V\subseteq X \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ beliebig ausgesucht. Dann liegt x auch in V und daher gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} K_{\delta(x)}(x)\subset V \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch $\begin{eqnarray*} (K_{\delta(x)}(x)\cap M)\subset (V\cap M)=U \end{eqnarray*}$ , was zeigt, dass U offen relativ M ist.

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":
Sei die Menge U offen relativ M. Zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ existiert dann ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (K_{\delta(x)}(x)\cap M)\subset U \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} V:=\bigcup_{x\in U} K_{\delta(x)}(x) \end{eqnarray*}$ .

[V ist die Vereinigung offener Mengen und daher selbst offen.]
Noch zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} U=M\cap V \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} U\subset V \end{eqnarray*}$ ist klar. [Ich hoffe, das kann man so sagen.]

Wegen $\begin{eqnarray*} U\subseteq M \end{eqnarray*}$ ist damit auch $\begin{eqnarray*} U\subseteq (M\cap V) \end{eqnarray*}$

Umgekehrt:

$\begin{eqnarray*} M\cap V=M\cap (\bigcup_{x\in U} K_{\delta(x)}(x))=\bigcup_{x\in U}(K_{\delta(x)}(x)\cap M) \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (K_{\delta(x)}(x)\cap M)\subset U \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch die Vereinigung dieser Mengen Teilmenge von U.

Somit gilt insgesamt: $\begin{eqnarray*} U=M\cap V \end{eqnarray*}$

Meine Idee zu (ii):

Ich habe zwar einen Einfall, aber ich weiß nicht, inwiefern das wirklich korrekt oder überhaupt genügend ist:

Sei $\begin{eqnarray*} M\subseteq X \end{eqnarray*}$ offen.
Sei U eine beliebige in M offene Menge. Das bedeutet doch nach (i), dass $\begin{eqnarray*} U=M\cap V \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} V\subseteq X \end{eqnarray*}$ offen.
Man soll ja zeigen, dass U auch offene Menge in X ist, wenn ich das korrekt verstanden habe. Nun ist U ja selbst eine offene Menge, da der Durchschnitt zweier offener Mengen ja ebenfalls offen ist und U ist enthalten in X.

Genügt das schon? Oder sehe ich das zu simpel?

Meine Idee zu (iii):

Auch hier schreibe ich einfach mal meine Einfälle auf, ohne zu wissen, wie wertvoll sie sind:

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":
Sei K in X kompakt.
Meine Internetrecherche hat ergeben, dass dies äquivalent dazu ist, dass K totalbeschränkt (d.h. K wird für jedes $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ von endlich vielen $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - Kugeln überdeckt) und vollständig ist.
Das heißt:
$\begin{eqnarray*} K\subseteq \bigcup_{j=1}^{n} \left\{x\in X: d(x,x_j)<\delta\right\}, \delta>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Vielleicht kann man jetzt setzen $\begin{eqnarray*} M:=\bigcup_{j=1}^{n} \left\{x\in X: d(x,x_j)<\delta\right\}, \delta>0 \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß nicht!

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":
Sei K kompakt relativ M. Dann kann man K wieder als endliche Überdeckung von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ - Kugeln schreiben und K ist dann natürlich auch in X in dieser Form enthalten, also auch kompakt in X.

[Alternativ: Dass K in X kompakt ist, ist ja auch äquivalent dazu, dass es mindestens eine Teilfolge in K gibt, die in K konvergiert. Vielleicht muss man auch besser das benutzen?
" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ": Sei K in X kompakt. Dann ex. mindestens eine Teilfolge in K, die in K konvergiert. Wenn $\begin{eqnarray*} K\subseteq M \end{eqnarray*}$ gilt doch auch "automatisch", dass K in M kompakt ist? Dies $\begin{eqnarray*} K\subseteq M\subseteq X \end{eqnarray*}$ - darf man das einfach so voraussetzen bzw. annehmen?
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ": Gelte $\begin{eqnarray*} K\subseteq M\subseteq X \end{eqnarray*}$ . Wenn K in M kompakt ist, gibt es also mindestens eine Teilfolge in K, die in K konvergiert, dann gilt doch auch, dass K in X kompakt ist, da $\begin{eqnarray*} K\subseteq X \end{eqnarray*}$ ? . . . Kommt mir seltsam vor.]

[Ohje, ich hoffe, ich habe nicht totalen Blödsinn aufgeschrieben und man kann mir hiermit wenigstens weiterhelfen...]

08.04.2011, 19:09

Gast11022013

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Hat niemand eine Hilfe bzw. ein Feedback für mich?

[Entschuldigung fürs Doppelposting, aber mich macht diese Aufgabe fast wahnsinnig. Und es gibt hier doch bestimmt jemanden, der die Frage durchschaut...]

Lesen2

08.04.2011, 20:44

gonnabphd

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Hi,

(i) und (ii) sollten soweit o.k. sein. Obwohl ich die Erklärung bei (ii) nicht ganz befriedigend finde, da du nicht sagst der Schnitt welcher offenen Mengen U denn nun ist

Zitat:

Nun ist U ja selbst eine offene Menge, da der Durchschnitt zweier offener Mengen ja ebenfalls offen ist und U ist enthalten in X.

(iii) "Deine Internetrecherchen haben ergeben"...? In diesem Fall habt ihr diese Charakterisierung von kompakten Mengen noch nicht gehabt (und noch viel schlimmer, wahrscheinlich kennst du keinen Beweis davon) --> also darfst du das auch nicht benutzen.

Welche äquivalente Definitionen von Kompaktheit kennst du? Bzw. welche fallen dir gerade ein.

08.04.2011, 20:52

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd
Hi,

(i) und (ii) sollten soweit o.k. sein. Obwohl ich die Erklärung bei (ii) nicht ganz befriedigend finde, da du nicht sagst der Schnitt welcher offenen Mengen U denn nun ist

Zitat:

Nun ist U ja selbst eine offene Menge, da der Durchschnitt zweier offener Mengen ja ebenfalls offen ist und U ist enthalten in X.

Du meinst, ich sollte noch dazuschreiben, dass U der Schnitt der offenen Mengen M und V ist?

Zitat:

Original von gonnabphd
(iii) "Deine Internetrecherchen haben ergeben"...? In diesem Fall habt ihr diese Charakterisierung von kompakten Mengen noch nicht gehabt (und noch viel schlimmer, wahrscheinlich kennst du keinen Beweis davon) --> also darfst du das auch nicht benutzen.

Welche äquivalente Definitionen von Kompaktheit kennst du? Bzw. welche fallen dir gerade ein.

Ja, das ist korrekt, mir ist diese Definition nicht bekannt und auch kein entsprechender Beweis.

Also muss etwas Alternatives her.

Mir fallen zum Stichwort "kompakt" spontan ein:
1.) abgeschlossen und beschränkt
2.) Es ex. mindestens eine Teilfolge in der Menge, die kompakt sein soll, wobei diese Teilfolge auch in dieser Menge konvergiert.

Kann man hiervon etwas brauchen und anwenden?
[Ein kleiner Tipp wäre toll. Augenzwinkern

]

08.04.2011, 21:14

gonnabphd

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Zitat:

2.) Es ex. mindestens eine Teilfolge in der Menge, die kompakt sein soll, wobei diese Teilfolge auch in dieser Menge konvergiert.

What the ... what?

Wenn du meinst: Jede Folge besitzt eine konvergente Teilfolge, dann ja. Aber das da oben ist... (am besten enthalte ich mich an dieser Stelle mal jeden weiteren Kommentars) Also Folgenkompaktheit ist ok.

Das mit den abgeschlossenen, beschränkten Teilmengen gilt leider nur für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , kann man hier also nicht benutzen.

Wink

Edit:

Zitat:

Du meinst, ich sollte noch dazuschreiben, dass U der Schnitt der offenen Mengen M und V ist?

Jup, das hatte ich damit gemeint.

08.04.2011, 21:23

Gast11022013

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Also, was ich meinte, ist Folgendes:

Es sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray*} Y\subseteq X \end{eqnarray*}$ , dann sind äquivalent:

(1) Y ist kompakt.
(2) Jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in Y hat mindestens eine Teilfolge, die in Y konvergiert.
(3) Y ist totalbeschränkt und vollständig.

Ich möchte also nun (2) anwenden um (iii) zu zeigen.

Nur: Wie?

Vielleicht so:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":
Es gelte $\begin{eqnarray*} K\subseteq M\subseteq X \end{eqnarray*}$ und K sei kompakt relativ M. Laut obiger Formulierung hat dann jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in K mindestens eine Teilfolge, die in K konvergiert.

Aber was hat dies nun mit M oder mit X zu tun?
Ich würde jetzt sagen, dass einfach aufgrund von $\begin{eqnarray*} K\subseteq M\subseteq X \end{eqnarray*}$ folgt, dass K auch in X kompakt ist.

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":
Sei K kompakt in X. Dann hat jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in K mindestens eine Teilfolge, die in K konvergiert.
Auch hier wieder die Frage: Was hat das nun mit X oder mit M zu tun?
Wenn $\begin{eqnarray*} K\subseteq M\subseteq X \end{eqnarray*}$ gilt, folgt, dass K auch kompakt in M ist. Aber wieso?

Irgendwie fehlt mir da noch was. Man muss bestimmt M noch definieren oder so.
Man muss bestimmt irgendwie eine Folge basteln oder sowas...

Vielleicht kann jemand helfen?

09.04.2011, 13:24

gonnabphd

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Weiss jetzt gar nicht, was man hier noch gross helfen kann. Benutze halt die Definitionen...

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray*} Y\subseteq X \end{eqnarray*}$ , dann sind äquivalent:

(1) Y ist kompakt.
(2) Jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in Y hat mindestens eine Teilfolge, die in Y konvergiert.

Sei K kompakt in U. Benutze (2) um zu zeigen, dass K kompakt in M ist. Und das selbe Spielchen mit kompaktem K in M, welches Teilmenge von U ist...

09.04.2011, 13:29

Gast11022013

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Wo kommt jetzt das U her?

Vielleicht ist es so offensichtlich, dass ich es nicht sehe?..

09.04.2011, 14:36

gonnabphd

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Achso, vertausche U mit M und M mit X oben. Mehr als die Definitionen und die Charakterisierung brauchst du nicht.

09.04.2011, 15:47

Gast11022013

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Tut mir leid, ich bekomme das nicht hin, auch, wenns anscheinend wirklich nicht schwer ist.

Kannst Du eventuell eine Richtung vorführen?
Ich denke, dann macht es bei mir vielleicht "klick".

09.04.2011, 17:10

gonnabphd

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Nein, ich werde dir schon rein prinzipiell nicht eine Richtung zeigen. (das bringst du nämlich 100% selbst hin...)
Ich kann dir allerhöchstens den Anfang geben.

"Sei $\begin{eqnarray*} K \subset M \end{eqnarray*}$ kompakt in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kompakt ist, müssen wir nach der obigen Charakterisierung von Kompaktheit zeigen, dass jede Folge in $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in K\; \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ...."

09.04.2011, 17:48

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd
"Sei $\begin{eqnarray*} K \subset M \end{eqnarray*}$ kompakt in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kompakt ist, müssen wir nach der obigen Charakterisierung von Kompaktheit zeigen, dass jede Folge in $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \in K\; \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ...."

Ist das rot markierte "in" korrekt?

Ansonsten würde ich den Satz fortsetzen mit:

...mindestens eine Teilfolge hat, die in K konvergiert.

Ich sehe aber immer noch nicht, wie es weiter geht.

Edit:

...mindestens eine Teilfolge hat, die in K, also in X konvergiert.
Nun ist K ja aber kompakt relativ M, d.h. jede Folge in K hat mindestens eine Teilfolge, die in M konvergiert, also auch in X, da M Teilmenge von X ist.

So?
Wenn ja, dann wäre das " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ".

Bliebe noch " $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":
Sei K kompakt in X.
Zu zeigen ist, dass jede Folge in K mindestens eine Teilfolge hat, die in M konvergiert. Die Frage ist, was nun M ist.

Vielleicht: $\begin{eqnarray*} M:=K\cup X\backslash K \end{eqnarray*}$ oder sowas Ähnliches?

11.04.2011, 15:25

Gast11022013

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Kann mir bitte noch jemand helfen, die Aussage (iii) zu beweisen?

Die Hin-Richtung habe ich im letzten Beitrag schon versucht.

Aber die Rück-Richtung will mir nicht gelingen.

Ich habe nur mir gedacht:

Angenommen M=X... dann würde da ja stehen:

K ist kompakt relativ X genau dann, wenn K kompakt in X ist.

Aber für K=(0,1), X=R ist diese Aussage doch falsch, oder?

11.04.2011, 17:55

Mikexx

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??
Ich möchte das auch gern wissen, aber leider scheint keiner einen Durchblick zu haben! traurig

13.04.2011, 21:53

Gast11022013

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Re: ??
Kann noch jemand helfen, damit ich bis morgen noch (iii) gelöst bekomme?
[Komischerweise reagiert da niemand mehr drauf.]

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