Kgv Pralinen. [modulo Rechnung]

08.04.2011, 17:36

david-1337

Kgv Pralinen. [modulo Rechnung]

Hallo ich habe ein Problem bei dem mein Lehrer die Den loesungsweg auch nochnicht weiss :p nun zur frage. A macht 16 er packungen und B 24 er und C 30er nun bleoben am schluss bei jedem 6 übrig ausser bei C ihm bleiben 18 übrig . Wie viele Pralinen hat jeder? Die Loesung ist 678 aber ich komme nicht auf den Loesungsweg.

08.04.2011, 17:53

tigerbine

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Naschkatze.
Jeder bekommt also die gleiche Pralinenzahl x?

A packt in 16er ab, und es bleiben 6 übrig => $\begin{eqnarray*} x \equiv 6 \mod 16 \end{eqnarray*}$

B packt in 24er ab, und es bleiben 6 übrig => $\begin{eqnarray*} x \equiv 6 \mod 24 \end{eqnarray*}$

C packt in 30er ab, und es bleiben 18 übrig => $\begin{eqnarray*} x \equiv 18 \mod 30 \end{eqnarray*}$

Probe eurer Lösung:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:	678 mod 16; 6 > 678 mod 24; 6 > 678 mod 30; 18

Könnt ihr denn schon mit Modulo rechnen? Es gibt aber noch mehr Lösungen, zum Beispiel:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:	918 mod 16; 6 > 918 mod 24; 6 > 918 mod 30; 18

Hast du eine Idee, wie von Hand mit "Fleiß" auf eine Lösung kommen kannst. Für ein Schema zum Lösen der "Kongruenzgleichungen" würde ich das Thema sonst gerne verschieben.

tigerbine

08.04.2011, 17:56

david-1337

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Was ist ein Modulo? ^^

08.04.2011, 18:03

tigerbine

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Gut, dann kennst du das noch nicht. Augenzwinkern

Zitat:

Hast du eine Idee, wie von Hand mit "Fleiß" auf eine Lösung kommen kannst.

Welche Zahlen lassen denn bei Division durch 16 den Rest 6? Ich fang mal an...

6, 22, 38, ....

Fällt dir da was auf? Kannst du diese Reihe weiterführen?

08.04.2011, 18:06

david-1337

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Ja am anfang macht man 0+6 dann einfach +16

08.04.2011, 18:14

tigerbine

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Genau. Also Reihe schon weitermachen [du weißt ja schon, bis wo hin ... Big Laugh

]

Zitat:

B packt in 24er ab, und es bleiben 6 übrig

6, 30, 54, ....

Zitat:

C packt in 30er ab, und es bleiben 18 übrig

18, 48, 78,.....

08.04.2011, 18:37

david-1337

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Ich verstehe nicht ganz sry ^^

08.04.2011, 18:49

tigerbine

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Setze die Reihen fort, bis eine gleiche zahl in allen reihen auftaucht... welche wird das wohl sein...

08.04.2011, 18:49

david-1337

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Ich muss also das kgv von 22 30 und 48 nehmen?

08.04.2011, 20:19

tigerbine

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Stehen in unseren Reihen denn Vielfache dieser 3 Zahlen? ... unglücklich

Zitat:

lcm(22,30,48);
2640

lcm=kgV

Du sollst die Reihen einfach mal weiter aufschreiben bis 678 . Kommt vorher schon mal eine gemeinsame Zahl vor?

08.04.2011, 20:44

david-1337

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Ja, es sind vielfaches der entsprechenden Zahlen halt eben + 6 oder 18

08.04.2011, 21:37

tigerbine

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Vielfache von 22 sind 22,44,66 etc. Aber das kommt im unserem Modell hier nicht vor. verwirrt

Was versteht du denn bei den drei Reihen nicht? Ich sage ja nicht, dass es unschön ist, so viel hinzuschreiben. Aber wenn ihr doch noch keine Theorie zu dem Thema hattet, ist das doch mal ein - wenn auch "Brut Force" Weg, die/eine Lösung zu der Aufgabe zu finden und begründen zu können. Augenzwinkern

Und ich hatte gehofft, dass du da einfach mal ein Feedback gibst: ok, Variante verstanden. Augenzwinkern

Dann kann es ja weiter gehen.

08.04.2011, 22:08

Mystic

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RE: Naschkatze.
Also die Bedingungen für A und B besagen, dass

$\begin{eqnarray*} x=6+16r, \quad x=6+24s \end{eqnarray*}$

für gewisse natürliche Zahlen r und s gelten muss, was man zu

$\begin{eqnarray*} x=6+48u \quad (u \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

zusammenfassen kann, weil kgV(16,24)=48 ist... Nun hat man noch eine weitere Bedingung für C, nämlich

$\begin{eqnarray*} x=18+30v \quad (v \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

zu erfüllen... Durch Gleichsetzen ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x= 6+48u=18+30v \Rightarrow 8u-5v=2 \end{eqnarray*}$

Um irgendwelche Lösungen für u und v zu erhalten, bedient man sich des folgenden Divisionsschemas (Euklidischer Algorithmus):

$\begin{eqnarray*} 8 = 1 \cdot 5 +3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 = 1 \cdot 3 +2 \end{eqnarray*}$

Normalerweise sollte man in dieser Weise weitermachen, bis sich die Division dann schließlich ausgeht, in Hinblick auf unser Ziel können wir hier bei dem Rest 2 aber bereits aufhören und rückwärts einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 2 = 5 -3 =5- (8-5)= -8+5 \cdot 2 \end{eqnarray*}$

was zeigt, das wir z.B. $\begin{eqnarray*} u=-1, v=-2 \end{eqnarray*}$ wählen können.. Wie man durch Einsetzen sieht, ist aber auch

$\begin{eqnarray*} u=-1+5t, \quad v=-2+8t \quad (t \in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

dann immer auch Lösung und wie man zeigen kann, gibt es auch keine weiteren ganzzahligen Lösungen... Da wir möglichst kleine postive Lösungen wollen, wählen wir t=1 und erhalten schließlich u=4, v=6... Durch Einsetzen erhält man daraus dann

$\begin{eqnarray*} x=18+30v = 198 \end{eqnarray*}$

als kleinste positive Lösung... Alle weiteren ergeben sich durch Addition von Vielfachen von $\begin{eqnarray*} 240 (=kgV(48,30)) \end{eqnarray*}$ , d.h., sie sind von der Form

$\begin{eqnarray*} 198+240t \quad (t \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

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