Bernsteinpolynom

08.04.2011, 20:35	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernsteinpolynom hallo, ich möchte diese aufgabe lösen: Zeige, dass mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ für das n-te Bernsteinpolynom der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} p_n^{x^2}(x)=x^2+\frac1n x(1-x) \end{eqnarray}$ Als Hinweis ist noch angegeben, dass man unter Benutzung von $\begin{eqnarray} p_n^x(x)=x \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} p_n^{x^2}(x)-\frac{x}{n} \end{eqnarray}$ in eine Summe umformen soll, und dort $\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n} x^2 \end{eqnarray}$ ausklammern soll. Weit bin ich allerdings noch nicht gekommen. Das n-te Bernsteinpolynom einer Funktion $\begin{eqnarray} f: [0,1] \to K \end{eqnarray}$ haben wir definiert als $\begin{eqnarray} p_n^f (x)=\sum\limits_{j=0}^n f(\frac{j}{n}) \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ . in meinem fall dann also $\begin{eqnarray} p_n^f (x)=\sum\limits_{j=0}^n (\frac{j}{n})^2 \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ . nach dem Hinweis soll ich aber jetzt $\begin{eqnarray} g(x):=p_n^f (x)-\frac{x}{n} =\sum\limits_{j=0}^n (\frac{j}{n})^2 \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j}-\frac{x}{n} \end{eqnarray}$ betrachten. und da weiß ich schon nicht mehr weiter. hat jemand einen tipp für mich, wie ich hier weiter machen kann?
09.04.2011, 11:47	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bernsteinpolynom Hallo, auf den ersten Blick sieht das nach einer Vollst. Induktion aus? Grüße Abakus
09.04.2011, 12:39	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also ich denke nicht, dass die Aufgabe mit vollst. Induktion gelöst werden soll, zumindest dem Hinweis nach zu urteilen. Ich habe noch ein wenig probiert, und bin damit auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} p_n^{x^2}(x)=x^2+\frac1n x(1-x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \implies p_n^{x^2}(x)-\frac1n x=x^2 -\frac1n x^2 \end{eqnarray}$ nun gilt ja nach dem hinweis $\begin{eqnarray} p_n^x (x)=\sum\limits_{j=0}^n \frac{j}{n} \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} p_n^{x^2}(x)-\frac1n x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{j=0}^n (\frac{j}{n})^2 \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j} - \frac1n \sum\limits_{j=0}^n \frac{j}{n} \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{j=0}^n \frac{j(j-1)}{n^2} \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ Ich habe mir noch $\begin{eqnarray} \frac{j(j-1)}{n^2} \binom{n}{j} \end{eqnarray}$ angeschaut: $\begin{eqnarray} \frac{j(j-1)}{n^2} \binom{n}{j} = \frac{j(j-1)}{n^2} \frac{n!}{j! (n-j)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac1n \frac{(n-1)!}{(j-2)!(n-j)!} \end{eqnarray}$ jetzt ist mir aber nicht klar, wie ich weiter machen kann.
09.04.2011, 13:02	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann leider nicht mehr editieren, deshalb muss ich einen doppelpost machen. $\begin{eqnarray} \frac1n \frac{(n-1)!}{(j-2)!(n-j)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{n-1}{n} \frac{(n-2)!}{(j-2)!(n-j)!} \end{eqnarray}$ und somit ist dann $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^n \frac{j(j-1)}{n^2} \binom{n}{j}x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^n \frac{n-1}{n} \frac{(n-2)!}{(j-2)!(n-j)!} x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ jetzt kann ich, wie im Hinweis angegeben, $\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n} x^2 \end{eqnarray}$ ausklammern: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^n \frac{n-1}{n} \frac{(n-2)!}{(j-2)!(n-j)!} x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{n-1}{n} x^2 \sum\limits_{j=0}^n \frac{(n-2)!}{(j-2)!(n-j)!} x^{j-2} (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ Ich vermute, dass ich jetzt von der Fakultätenschreibweise zurück zum Binomialkoeffizient kommen muss, um dann den binomischen Lehrssatz anwenden zu können. Ich sehe allerdings gerade nicht, wie ich das machen könnte.
09.04.2011, 14:37	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
habs jetzt gelöst bekommen die Fehler in meinem letzten post kann ich leider nicht mehr raus-editieren, aberhat diese Idee hat mich zum ziel geführt. trotzdem danke an Abakus, mit Induktion müsste das auch klappen.

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