Gruppenisomorphimus konstruieren

08.04.2011, 20:52

Zitrone21

Gruppenisomorphimus konstruieren

Geben Sie einen Gruppenisomorphismus zwischen der multiplikativen Einheitengruppen $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{*} \end{eqnarray*}$ und der additiven Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +) \end{eqnarray*}$ an.

Ich muss hier einen bijektiven Gruppenhomomorphismus erstellen.
Der Einfachheit halber definiere ich erstmal:
$\begin{eqnarray*} A := (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^{*} = \{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B := (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +) = \{0,1,2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi : A \mapsto B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \psi : B \mapsto A \end{eqnarray*}$

Ich berechne zunächst die Inversen:
Inverse in A:
1 * 1 = 1
2 * 4 = 1
3 * 5 = 1
4 * 2 = 1
5 * 3 = 1
6 * 6 = 1

Inverse in B:
0 + 0 = 0
1 + 5 = 0
2 + 4 = 0
3 + 3 = 0
4 + 2 = 0
5 + 1 = 0

Offensichtlich ist hier, das in A 1 und in B die 0 das neutrale Element sind.

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ würde ich gerne bestimmen.
Durch die Definition eines Gruppenisomorphismus und durch ein paar Umformungen ergibt sich, das folgendes für meine Abbildung gegeben sein muss:

1) Die neutralen Elemente bilden aufeinander ab. Also $\begin{eqnarray*} \phi(1) = 0 \end{eqnarray*}$
2) Inverse bilden aufeinander ab, da gilt $\begin{eqnarray*} \phi(a)^{-1} = \phi(a^{-1}) \end{eqnarray*}$
3) Für den Gruppenhomomorphis muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \forall a_1, a_2 \in A: \phi(a_1 * a_2) = \phi(a_1) + \phi(a_2) \end{eqnarray*}$

Es fällt auf, das von den neutralen Elementen mal abgesehen, in A und B zwei Elemente sind, die zueinander selbstinvers sind.
Ansonsten gibt es jeweis 2 Elemente, die zueinander invers sind.
Ich vermute, das ich dann hier eine Abbildung von dem einen Selbstinversen auf das andere machen muss, also $\begin{eqnarray*} \phi(6) = 3 \end{eqnarray*}$
(Wie kann ich hier begründen, dass das gelten muss?)

Nun muss ich die anderen Elemente irgendwie sinnvoll aufeinander abbilden.Ich wähle dann z.B. willkürlich $\begin{eqnarray*} \phi(4) = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(2) = 4 \end{eqnarray*}$ und bilde die restlichen Elemente auch noch ab.
Hier würde ich dann überprüfen, ob die zufällig von mir gebildete Abbildung die Gruppenhomomorphismus-Eigenschaften erfüllt.

Dies erscheint mir allerdings wenig der Sinn der Aufgabe zu sein, hier wild zu raten und mit Glück auf die richtige Lösung zu kommen. Irgendwie wird man das vermutlich konstruieren können. Leider hatten wir bis jetzt noch nichts bezüglich solch einer Konstruktion in der Vorlesung.
Hat jemand Denkanstöße?

08.04.2011, 21:13

tmo

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Wenn du einen Erzeuger von A auf einen Erzeuger von B abbildest, dann ist doch schon die ganze Abbildung (durch die Homomorphismuseigenschaft) eindeutig bestimmt.

08.04.2011, 21:28

Zitrone21

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Zitat:

Original von tmo
Wenn du einen Erzeuger von A auf einen Erzeuger von B abbildest, dann ist doch schon die ganze Abbildung (durch die Homomorphismuseigenschaft) eindeutig bestimmt.

Leider kann ich mit dem Begriff Erzeuger nicht viel anfangen. Der entsprechende Wikipediaartikel http://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Gruppe (und auch das was ich mir bis jetzt in meinen Algebrabüchern und per Google über Erzeuger angelesen habe) ist für mich leider nicht anschaulich, bzw mir ist nach dem Lesen leider nicht klar, was jetzt hier die Erzeuger der Gruppe sind und auch nicht, wieso ich diese aufeinander abbilden soll, um einen Gruppenhomomorphismus zu erhalten.

Ich würde Erzeuger hier am ehesten mit Basisvektoren eines Vektorraums vergleichen, sprich Elemente aus denen ich alle Elemente der Gruppe bzw. Vektorraum erzeugen kann.

Wenn ich die Intention deiner Antwort richtig interpretiere, ist mein Ansatz nicht zielführend?

08.04.2011, 21:51

tigerbine

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Hallo Zitrone,

vielleicht kann ich kurz helfen. Nehmen wir als Beispiel als Urbild eine (endliche) zyklische Gruppe Z und z sei ein Erzeuger davon. Dann gilt Z=<z>. Für was stehen diese <>? Es gibt verschiedene "Definitionen", die dann äquivalent sind. Schau dir mal diesen aktuellen Thread an: (Z,+) zyklisch, Erzeuger Der klärt ganz gut imho, was man gerne im "Erzeugnis" vergisst.

Für diese Aufgabe bitte mal die Rechenregeln [steht im Skript bestimmt in einem Lemma] für Homomorphismen anschauen. Das tolle ist nun, wenn du weißt, was der G-Hom mit dem Erzeuger z macht, dann weißt du, was er mit ganz Z macht. Du kennst also schon die Bildmenge und deren Eigenschaften.

Bei dir ist ja vorgegeben, was du als Bild haben möchtest. Und diese Bildgruppe hat ja wieder eine bestimme Struktur. Vielleicht macht dann tmos Hinweis

Zitat:

Wenn du einen Erzeuger von A auf einen Erzeuger von B abbildest, dann ist doch schon die ganze Abbildung (durch die Homomorphismuseigenschaft) eindeutig bestimmt.

mehr Sinn für dich. Es stimmt schon, es ist dem "Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt" schon nahe. Aber als Struktur haben wir hier ja Gruppen und keine Vektorräume. Und damit komme ich wieder zu meinen Eingang zurück, mache dich mit der Defintion "Erzeugnis", "Erzeugendensystem" vertraut.

So,
vielleicht konnte ich die Wartezeit überbrücken. Wink

08.04.2011, 23:43

lgrizu

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RE: Gruppenisomorphimus konstruieren
Hier wurde die selbe Frage schon einmal gestellt: Isomorphismus finden?!.

Und hier kannst du auch mal schauen: Isomorphie von 2 Gruppen

Edit: Links korrigiert

09.04.2011, 18:30

Zitrone21

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Hallo zusammen,
danke für eure Hilfe. Ich habe inzwischen doch verstanden was Erzeuger sind, und konnte eine entsprechende Abbildung konstruieren.

In dem verlinkten Thread wurde $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ verwendet und eine Abbildungsvorschrift zu konstruieren, ich habe $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ genommen.

Als Resultat erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \phi(1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(2) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(3) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(4) = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(5) = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(6) = 3 \end{eqnarray*}$
Das deckt sich auch mit der Umkehrabbildung, die im anderen Thread erstellt wurde: Isomorphismus finden?!

Konstruiert habe ich das ganze, indem ich gesagt habe, das $\begin{eqnarray*} \phi(3) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt und per Homomorphismuseigenschaften den Rest gemacht habe.
Sprich ich habe die Erzeuger aufeinander abgebildet. 3 ist Erzeuger von A, 1 ist Erzeuger von B.

Zitat:

Für diese Aufgabe bitte mal die Rechenregeln [steht im Skript bestimmt in einem Lemma] für Homomorphismen anschauen

In meiner Vorlesung kann ich allerdings keinen Satz / Lemma entdecken, das entsprechene Regeln definiert.

Leider kann ich mir momentan nicht herleiten, wieso ich $\begin{eqnarray*} \phi(3) = 1 \end{eqnarray*}$ gewählt habe, bzw. wieso die Erzeuger aufeinander abbilden.

Mein Ansatz dazu war:
$\begin{eqnarray*} \phi(3^7) = \phi(3^6 * 3^1) = \phi(3^6) + \phi(3^1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 = \phi(3^6) \equiv \phi(1) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \phi(3^7) \equiv \phi(3) \end{eqnarray*}$
Aber das bringt nichts Augenzwinkern

Wie begründe ich, dass ich $\begin{eqnarray*} \phi(3) = 1 \end{eqnarray*}$ gewählt habe?

09.04.2011, 18:36

tigerbine

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Zitat:

Original von Zitrone21
In meiner Vorlesung kann ich allerdings keinen Satz / Lemma entdecken, das entsprechene Regeln definiert.?

http://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphis...nhomomorphismus

Wir waren im zyklischen Fall, U=<u>. Da meinte ich z. B.

$\begin{eqnarray*} \phi(u^2)=\phi(uu)=\phi(u)\phi(u)=\phi(u)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o(\phi(u))~|~o(u) \end{eqnarray*}$ o für Ordnung.

09.04.2011, 19:02

Zitrone21

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Ja genau, die kenne ich und mit der erstgenannten Regel habe ich gearbeitet.

Ich dachte du hattest damit gemeint, das ich eventuell ein Lemma kennen würde, das erklärt, wieso man Erzeuger auf Erzeuger abbildet

09.04.2011, 19:05

tigerbine

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Zitat:

wieso man Erzeuger auf Erzeuger abbildet

Die Frage ist doch noch, was ist $\begin{eqnarray*} \phi(u) \end{eqnarray*}$ . Und Ziel war hier doch ein Isomorphismus.

09.04.2011, 19:13

Zitrone21

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

wieso man Erzeuger auf Erzeuger abbildet

Die Frage ist doch noch, was ist $\begin{eqnarray*} \phi(u) \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe die Frage leider nicht :-|

09.04.2011, 19:17

tigerbine

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Wenn da nun nur Homomorphismus stehen würde. Dann könnte man doch einfach alles auf das neutrale Element abbilden. Um alles auf das neutrale abzubilden reicht es, den Erzeuger auf das neutrale abzubilden... Wie stellst du nun sicher, dass so was nicht eintritt, sondern du wirklich als Bild die ganze Gruppe B erhältst?

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