Differenz Chiquadratverteilter ZV

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08.04.2011, 22:47	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenz Chiquadratverteilter ZV Wenn ich eine ZV habe, die ich als Differenz einer Chiquadratverteilten ZV mit n Freiheitsgraden, und einer Chiquadratverteilten ZV mit einem Freiheitsgrad darstellen kann - ist diese Differenz dann auch Chiquadratverteilt mit n+1 Freiheitsgraden? Ich kann in meinen Unterlagen leider nichts dazu finden, aber das sollte doch zutreffen?
09.04.2011, 08:52	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenz Chiquadratverteilter ZV Eine Chiquadratverteilte Größe kann nur nichtnegative Werte annehmen. Die Differenz zweier Chiquadratverteilter Größen kann beliebige reelle Werte annehmen. Was sagt dir das?
09.04.2011, 09:42	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das habe ich ja gar nicht bedacht, also wohl doch nicht Chiquadratverteilt. Kann man die Verteilung trotzdem benennen?
09.04.2011, 09:59	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist da kein Name bekannt. Bei der Summe stimmt die Sache. Die Summe zweier unabhängiger Chiquadratverteilter Größen ist wieder Chiquadratverteilt, wobei sich die Zahl der Freiheitsgrade addiert.
09.04.2011, 10:59	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dann also nach der Verteilung gefragt ist, schreibe ich einfach X ~ $\begin{eqnarray} \chi^2_n - \chi^2_1 \end{eqnarray}$ oder schreibt man das so nicht?
09.04.2011, 11:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man nicht so schreiben. Es ist da ja unklar, was auf der rechten Seite steht. Die Differenz zweier Verteilungen/Dichten ist ja im allgemeinen gar keine Verteilung/Dichte. Wenn du das formelmäßig schreiben willst, würde ich einfach das Faltungsintegral der beiden Chiquadratverteilungen hinschreiben.
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09.04.2011, 11:51	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm mit Faltung hatten wir es in dieser Vorlesung eigentlich noch nicht zu tun bekommen, ich fürchte fast dass ich dann mit meinem Ansatz komplett falsch liege. Es ging ursprünglich um den zweiten Teil der hier Unabhängigkeit von ZV erwähnten Aufgabe. Ist es überhaupt richtig dass bei $\begin{eqnarray} V-U^2= X^T \cdot X - (\Pi_{L_1} \cdot X)^T \cdot (\Pi_{L_1} \cdot X) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\Pi_{L_1} \cdot X)^T \cdot (\Pi_{L_1} \cdot X) \end{eqnarray}$ gerade Chiquadratverteilt mit einem Freiheitsgrad ist?
09.04.2011, 16:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ändert den Sachverhalt natürlich. Die Verteilungen von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U^2 \end{eqnarray}$ aus der zitierten Aufgabe sind ja nicht beliebige Chiquadratverteilungen. Zwischen den beiden gibt es eine Abhängigkeit. Es ist durchaus möglich, dass die Differenz wieder Chiquadratverteilt ist. Das muss sich aber aus der speziellen Konstruktion der beiden Größen ergeben.
09.04.2011, 16:53	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du ne Idee wie man da am besten vorgeht, formt man einfach den Ausdruck "auf gut Glück" um und hofft dass was sinnvolles rauskommt? Hier könnte ich $\begin{eqnarray} V-U^2 \end{eqnarray}$ umformen zu $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n}) \cdot \sum\limits_{i=1}^n X_i^2 - \frac {1}{n} \cdot \sum\limits_{i,j=1 \cap i\neq j}^n X_i \cdot X_j \end{eqnarray}$ aber das hilft mir jetzt nicht wirklich
09.04.2011, 17:21	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stehe da im Moment auch auf dem Schlauch. Vielleicht hat ein Mitleser eine Idee?
09.04.2011, 18:09	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Jedenfalls vielen Dank für deine Hilfe, vielleicht kommt mir ja noch ein Geistesblitz
09.04.2011, 21:32	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab tatsächlich noch eine Lösung gefunden. Es gibt da einen Satz der besagt, wenn X multi. SNV ist und A idempotent, dann ist $\begin{eqnarray} X^T A X \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} \chi^2(Rang(A)) \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} V-U^2 \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} \chi^2(n-1) \end{eqnarray}$
10.04.2011, 08:20	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist immer hilfreich, wenn man so ein paar Sätze kennt. Der war mir nicht bekannt. Ich habe auch wenig Erfahrung mit der mehrdimensionalen Normalverteilung. Im Schlaf ist mir aufgegangen, dass gilt: $\begin{eqnarray} n(L-U^2)=\sum_{i<j}(X_i-X_j)^2 \end{eqnarray}$

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