Prüfung, ob die Reihe konvergiert

09.04.2011, 13:12

Colt

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Prüfung, ob die Reihe konvergiert

Ich habe mehrere Reihen und soll diese Prüfen, ob sie konvergieren. Ich bin in diesem Thema noch sehr schwach, also bitte Rücksicht nehmen.

Die erste Reihe lautet:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3+2} \end{eqnarray*}$

Für n ggn. unendlich konvergiert diese Reihe ggn. null, aber ob die Summe daraus konvergiert ist noch nicht sicher.
Wenn man n^2 ausklammert sieht diese Summe aus wie die harmonische Reihe und daher würde ich sagen, dass sie nicht konvergiert.

09.04.2011, 13:16

Iorek

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Für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} \frac {n^2}{n^3+2} \end{eqnarray*}$ gegen 0, das gibt aber noch keinen Aufschluss über die Konvergenz der Reihe.

Dein Ansatz $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ auszuklammern ist sehr brauchbar, mit dem Minorantenkriterium kannst du dann weiter argumentieren.

09.04.2011, 13:17

tmo

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Du meinst, dass die Folge gegen 0 konvergiert, aber ob die Reihe über diese Folge konvergiert, weißt du nicht.

Aber deine Idee ist dann schon sehr gut. Nun weißt du ja immerhin schonmal in welche Richtung du abschätzen musst und dass die harmonische Reihe (evtl. natürlich noch mit einem Vorfaktor versehen) als Minorante dienen könnte.

09.04.2011, 13:20

Mystic

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RE: Prüfung, ob die Reihe konvergiert
Was ist eigentlich mit dem uneigentlichen Integral

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{x^2}{x^3+2}dx \end{eqnarray*}$

Konvergiert dieses?

09.04.2011, 13:31

Colt

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$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{n+\frac{2}{n^2} } \leq \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2} = \infty \end{eqnarray*}$

Daher wird die Reihe nicht konvergieren.

09.04.2011, 13:37

Mystic

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Ich würde dieses Argument vielleicht noch um den Beweis von

$\begin{eqnarray*} \frac 2{n^2} \ge 2 \quad \forall n>0 \end{eqnarray*}$

ergänzen...

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09.04.2011, 13:38

Colt

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Bin Maschinenbauer und kein Mathematiker Big Laugh

Big Laugh

dieses umgedrehte A hab ich noch nie gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.04.2011, 13:42

Iorek

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Auch wenn du eigentlich die üblichsten Quantoren kennen solltest (auch als Maschinenbauer) formuliere ich Mystics Aussage mal um:

Bist du wirklich ganz sicher, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1{n+\frac {2}{n^2}}\leq \frac 1{n+2} \end{eqnarray*}$ ist?

09.04.2011, 13:44

Mystic

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Sorry, das wußte ich nicht, also nochmals, du benötigst auch noch den Beweis von

$\begin{eqnarray*} \frac 2{n^2} \ge 2 \text{ für alle ganzen Zahlen } n \ge 1 \end{eqnarray*}$

für dein Argument... Zumindestens solltest du auf diese Frage vorbereitet sein...

Edit: Ah, Iorek hat das auch schon mit etwas anderen Worten gesagt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.04.2011, 13:46

Colt

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Für alle n Element N bin ich mir sicher, ja.

Bei n=1 sind die Brüche identlisch und für alle darauf folgenden n ist der Bruch kleiner.

09.04.2011, 13:47

Iorek

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Dann schreib mir doch bitte mal die Brüche für n=2 und n=3 auf und überprüfe ob die Aussage noch immer stimmt.

09.04.2011, 13:49

Colt

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Du hast recht... der Nenner wird ist kleiner, daher der gesamte Bruch größer.

Brauch ich also eine andere Majorante oder?

09.04.2011, 13:53

Iorek

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Die harmonische Reihe passt schon, eine Majorante wird dir übrigens nicht weiter helfen.

Bei diesen Abschätzungen kannst du ruhig "brutal" zu Werke gehen, es muss keine genaue Abschätzung sein, die für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Das Minorantenkriterium braucht nur einen Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sodass die Abschätzung für alle $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

09.04.2011, 13:55

Colt

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Meinst du also es reicht auszusagen dass:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+ \frac{2}{n^2}} \approx \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
ist und diese Reihe damit nicht konvergiert?

09.04.2011, 14:04

Iorek

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Nein, das würde nicht reichen.

Ein Beispiel für die "brutale" Abschätzung:

Wir bertrachten die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac n{n^2+1} \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} \frac n{n^2+1}=\frac 1{n+\frac 1n} \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} n+\frac 1n<n+n=2n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac 1{n+\frac 1n}>\frac 1{2n} \end{eqnarray*}$ . Zugeben, für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist die Abschätzung $\begin{eqnarray*} n+\frac 1n<2n \end{eqnarray*}$ sehr ungenau, das macht aber nichts da wir nur auf Konvergenz testen.

Mit dem Minorantenkriterium und der Divergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{2n}=\frac 12\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1n \end{eqnarray*}$ folgt dann die Divergenz von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac n{n^2+1} \end{eqnarray*}$

09.04.2011, 14:04

Mystic

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Zitat:

Original von Colt
Meinst du also es reicht auszusagen dass:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+ \frac{2}{n^2}} \approx \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
ist und diese Reihe damit nicht konvergiert?

Ja, das war schon ganz schön "brutal", aber noch nicht genug, zumal hier eine Abschätzung des linken Terms nach unten benötigt wird...

09.04.2011, 14:14

Colt

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Könnte mir das so vorstellen:
$\begin{eqnarray*} n+2\cdot \frac{1}{n^2} < n+2n = 3n \end{eqnarray*}$

Dann könnte ich so weiter machen wie Iorek.

09.04.2011, 14:22

Mystic

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Ja, so kann man das machen... Freude

Freude

Auch die etwas weniger brutale Abschätzung

$\begin{eqnarray*} n+\frac 2{n^2} \le n+2 \end{eqnarray*}$

leistet das Gewünschte, denn es divergiert ja auch jeder "Reihenrest" der harmonischen Reihe...

09.04.2011, 14:31

Colt

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Okay danke. Freude

Freude

Hab dann auch schon eine weitere Reihe:
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} +\frac{6}{9} +\frac{9}{13} +\frac{12}{17} +\frac{15}{21} ... \end{eqnarray*}$

Diese habe ich zu:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^n}{1+4^n} \end{eqnarray*}$
gemacht.

Muss ich hier wieder abschätzen und vergleichen?

09.04.2011, 14:39

Mystic

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Abschätzen und vergleichen ist immer gut... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur kann ich deine Formel nicht nachvollziehen, irgendetwas stimmt da nicht... verwirrt

verwirrt

09.04.2011, 14:42

Colt

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Ja sorry... auf meinem Blatt stehts richtig!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty%20\frac{3n}{1+4n} \end{eqnarray*}$

Mit der Abschätzung würde ich die 1 aus dem Nenner herausnehmen. Dann könnte ich jedoch n kürzen und hätte nurnoch 3/4 dort stehen. Ich weiß noch nicht ob ich das machen darf.

09.04.2011, 14:49

Mystic

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Kommt drauf an, ob du die Konvergenz oder Divergenz der Reihe zeigen willst... Das solltest du vorher schon wissen...

09.04.2011, 14:56

Colt

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Die Aufgabe lautet, dass ich auf Konvergenz prüfen soll, also denke ich ich sollte ersteres nehmen.
Also Majorante könnte ich
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n}{4n} \end{eqnarray*}$
nehmen. Diese konvergiert nicht und damit konvergiert die ausgangssumme auch nicht.

09.04.2011, 14:59

Mystic

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Divergente Majoranten beweisen gar nichts... Ich schätze z.B. die Reihenglieder von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac 1{2^n} \end{eqnarray*}$

durch 1 nach oben ab und erhalte dann eine divergente Majorante... Ist deshalb die Ausgangsreihe auch divergent? geschockt

geschockt

09.04.2011, 15:05

Colt

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Das übersteigt gerade alles meiner Auffassungsgabe. Ich versuchs später nochmal.

Danke bis hierhin. Wink

Wink

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