Prüfung, ob die Reihe konvergiert

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Colt Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfung, ob die Reihe konvergiert
Ich habe mehrere Reihen und soll diese Prüfen, ob sie konvergieren. Ich bin in diesem Thema noch sehr schwach, also bitte Rücksicht nehmen.

Die erste Reihe lautet:


Für n ggn. unendlich konvergiert diese Reihe ggn. null, aber ob die Summe daraus konvergiert ist noch nicht sicher.
Wenn man n^2 ausklammert sieht diese Summe aus wie die harmonische Reihe und daher würde ich sagen, dass sie nicht konvergiert.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Für konvergiert die Folge gegen 0, das gibt aber noch keinen Aufschluss über die Konvergenz der Reihe.

Dein Ansatz auszuklammern ist sehr brauchbar, mit dem Minorantenkriterium kannst du dann weiter argumentieren.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, dass die Folge gegen 0 konvergiert, aber ob die Reihe über diese Folge konvergiert, weißt du nicht.

Aber deine Idee ist dann schon sehr gut. Nun weißt du ja immerhin schonmal in welche Richtung du abschätzen musst und dass die harmonische Reihe (evtl. natürlich noch mit einem Vorfaktor versehen) als Minorante dienen könnte.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prüfung, ob die Reihe konvergiert
Was ist eigentlich mit dem uneigentlichen Integral



Konvergiert dieses?
Colt Auf diesen Beitrag antworten »



und



Daher wird die Reihe nicht konvergieren.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dieses Argument vielleicht noch um den Beweis von



ergänzen...
 
 
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Bin Maschinenbauer und kein Mathematiker Big Laugh dieses umgedrehte A hab ich noch nie gesehen Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn du eigentlich die üblichsten Quantoren kennen solltest (auch als Maschinenbauer) formuliere ich Mystics Aussage mal um:

Bist du wirklich ganz sicher, dass ist?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das wußte ich nicht, also nochmals, du benötigst auch noch den Beweis von



für dein Argument... Zumindestens solltest du auf diese Frage vorbereitet sein...

Edit: Ah, Iorek hat das auch schon mit etwas anderen Worten gesagt... Augenzwinkern
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle n Element N bin ich mir sicher, ja.

Bei n=1 sind die Brüche identlisch und für alle darauf folgenden n ist der Bruch kleiner.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib mir doch bitte mal die Brüche für n=2 und n=3 auf und überprüfe ob die Aussage noch immer stimmt.
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht... der Nenner wird ist kleiner, daher der gesamte Bruch größer.

Brauch ich also eine andere Majorante oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die harmonische Reihe passt schon, eine Majorante wird dir übrigens nicht weiter helfen.

Bei diesen Abschätzungen kannst du ruhig "brutal" zu Werke gehen, es muss keine genaue Abschätzung sein, die für alle erfüllt ist. Das Minorantenkriterium braucht nur einen Index sodass die Abschätzung für alle erfüllt ist.
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du also es reicht auszusagen dass:

ist und diese Reihe damit nicht konvergiert?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das würde nicht reichen.

Ein Beispiel für die "brutale" Abschätzung:

Wir bertrachten die Reihe . Es ist und mit ist . Zugeben, für große ist die Abschätzung sehr ungenau, das macht aber nichts da wir nur auf Konvergenz testen.

Mit dem Minorantenkriterium und der Divergenz von folgt dann die Divergenz von
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Colt
Meinst du also es reicht auszusagen dass:

ist und diese Reihe damit nicht konvergiert?


Ja, das war schon ganz schön "brutal", aber noch nicht genug, zumal hier eine Abschätzung des linken Terms nach unten benötigt wird...
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir das so vorstellen:


Dann könnte ich so weiter machen wie Iorek.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so kann man das machen... Freude

Auch die etwas weniger brutale Abschätzung



leistet das Gewünschte, denn es divergiert ja auch jeder "Reihenrest" der harmonischen Reihe...
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke. Freude


Hab dann auch schon eine weitere Reihe:


Diese habe ich zu:

gemacht.

Muss ich hier wieder abschätzen und vergleichen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Abschätzen und vergleichen ist immer gut... Augenzwinkern

Nur kann ich deine Formel nicht nachvollziehen, irgendetwas stimmt da nicht... verwirrt
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sorry... auf meinem Blatt stehts richtig!



Mit der Abschätzung würde ich die 1 aus dem Nenner herausnehmen. Dann könnte ich jedoch n kürzen und hätte nurnoch 3/4 dort stehen. Ich weiß noch nicht ob ich das machen darf.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt drauf an, ob du die Konvergenz oder Divergenz der Reihe zeigen willst... Das solltest du vorher schon wissen...
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautet, dass ich auf Konvergenz prüfen soll, also denke ich ich sollte ersteres nehmen.
Also Majorante könnte ich

nehmen. Diese konvergiert nicht und damit konvergiert die ausgangssumme auch nicht.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Divergente Majoranten beweisen gar nichts... Ich schätze z.B. die Reihenglieder von



durch 1 nach oben ab und erhalte dann eine divergente Majorante... Ist deshalb die Ausgangsreihe auch divergent? geschockt
Colt Auf diesen Beitrag antworten »

Das übersteigt gerade alles meiner Auffassungsgabe. Ich versuchs später nochmal.

Danke bis hierhin. Wink
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