Bernsteinpolynom und Funktionenfolge

09.04.2011, 14:57	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernsteinpolynom und Funktionenfolge hallo, dieses mal geht es um folgende Aufgabe: Für $\begin{eqnarray} n \in \{0,1,2,...\} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ die Einschränkung des Monoms $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ auf das Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} p_n^{f_n} \end{eqnarray}$ das n-te Bernsteinpolynom zu $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ . Zeige: Für $\begin{eqnarray} n \in \{ 2,3,...\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} p_n^{f_n}(x) \geq f_n(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_n^{f_n}(x)=f_n(x) \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} x \in \{0,1\} \end{eqnarray}$ . Die Definition des n-ten Bernsteinpolynoms von $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} p_n^{f_n}(x)=\sum\limits_{j=0}^n f_n(\frac{j}{n}) \binom{n}{j} x^j (1-x)^{n-j} \end{eqnarray}$ die Rückrichtung scheint einfacher zusein, deshalb beginne ich mal damit: Wenn $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ gilt, ist auch $\begin{eqnarray} p_n^{f_n}(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_n(0)=0^n=0 \end{eqnarray}$ , damit gelten ja dann beide (Un)gleichungen. Wenn $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ gilt, ist aber $\begin{eqnarray} p_n^{f_n}(1)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_n(1)=1^n=1 \end{eqnarray}$ . Also gilt ja schon $\begin{eqnarray} p_n^{f_n}(x)=f_n(x) \end{eqnarray}$ und damit insbesondere auch die Ungleichung. Für die andere richtung habe ich allerdings noch keine idee. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? danke schonmal im voraus.

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