Minimum, Maximum, Wendepunkt!

09.04.2011, 16:16	Cascado	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum, Maximum, Wendepunkt! Ich habe mal eine etwas doofe Frage. Ist ein Minimum dasselbe wie ein Tiefpunkt und ist ein Maximum dasselbe wie ein Hochpunkt? Und hat jemand ein paar leichte tipps wie man diese am schnellsten herausbekommt, dies benötige ich auch für den Wendepunkt! Ich bin da derzeit etwas überfordert mit!
09.04.2011, 17:29	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimum, Maximum, Wendepunkt! Wir sprechen denke ich von lokalen Extremwerten, ein (lokales) Minimum ist das gleiche wie ein Tiefpunkt und ein Maximum das gleiche wie ein Hochpunkt, richtig. Die Berechnung von (lokalen) Extremwerten findet über die Tangentensteigung statt, ein Extremum (egal ob Minimum oder Maximum) hat eine Tangentialsteigung von 0, also kann man die erste Ableitung benutzen, um solch eine kritische Stelle zu bekommen. Überprüft werden die kritischen Stellen dann in der zweiten Ableitung. Für Wendestellen zieht man dann die zweite Ableitung heran, die Nullstellen der zweiten Ableitung liefern dir mögliche Kandidaten für Wendestellen, auch diese gilt es in der dritten Ableitung zu überprüfen. Wendestellen sind Extremwerte der ersten Ableitung, kann man sich auch deutlich machen, wenn man einmal eine Funktion und ihre Ableitungen (vielleicht verschiedenfarbig) in ein Koordinatenkreuz einzeichnet, oder wenn man sich überlegt, dass der Betrag der Tangentensteigung dort lokal am größten ist.
09.04.2011, 18:41	Cascado	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap es sind lokale Extremwerte! Also nochmal zusammengefasst: Minimum und Maximum werden mit der ersten Ableiten gefunden! Das wäre dann der X wert den man hätte. Den Y-Wert erhält man dann ja durch das einsetzen des errechneten wertes beispiels weiße 2 in die Ursprungsfunktion richtig? Was meinst du mit Überprüfen? Für den Wendepunkt benutzt man generell die zweite Ableitung! Die dritte Ableitung hatten wir noch nicht! Habe ich das soweit richtig verstanden?
09.04.2011, 18:57	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so weit richtig, man bestimmt die Nullstellen der ersten Ableitung, da ein Extremum die Eigenschaft hat, dass die Tangentensteigung dort verschwindet. Nehmen wir einmal an, wir haben eine kritische Stelle gefunden, also eine Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ für die gilt $\begin{eqnarray} f'(x_0)=0 \end{eqnarray}$ . Nun setzen wir diese Stelle in die zweite Ableitung ein, es gibt hier drei Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} 1.)~f''(x_0)<0 \end{eqnarray}$ , dann ist an der Stelle ein Maximum $\begin{eqnarray} 2.)~f''(x_0)>0 \end{eqnarray}$ , an der Stelle ist ein Minimum $\begin{eqnarray} 3.)~f''(x_0)=0 \end{eqnarray}$ , man kann keine Aussage treffen, es ist auch unklar, ob sich dann an der Stelle überhaupt ein Extremum befindet. Für Wendestellen analog, wir suchen also ein Maximum der ersten Ableitung, dazu setzen wir die zweite Ableitung =0. Wieder nehmen wir an, wir haben eine kritische Stelle $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ gefunden, für die gilt $\begin{eqnarray} f''(x_1)=0 \end{eqnarray}$ . Dann haben wir wieder die drei Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} 1.)~f'''(x_1)<0 \end{eqnarray}$ , die erste Ableitung hat ein Maximum an der Stelle, also haben wir eine Wendestelle. $\begin{eqnarray} 2.)~f'''(x_1)>0 \end{eqnarray}$ , an der Stelle hat die erste Ableitung ein Minimum, also haben wir auch eine Wendestelle gefunden. $\begin{eqnarray} 3.)~f'''(x_1)=0 \end{eqnarray}$ , wir können nicht sagen, ob die erste Ableitung ein Extremum hat, also wissen wir nicht, ob eine Wendestelle vorliegt.

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