Produkt von Untermannigfaltigkeiten

09.04.2011, 16:49	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von Untermannigfaltigkeiten Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe ist gestellt: Sei $\begin{eqnarray} M\subseteq \mathbb R^m \end{eqnarray}$ eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit und sei $\begin{eqnarray} N\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ eine s-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} M\times N\subseteq \mathbb R^{m+n} \end{eqnarray}$ eine (k+s)-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist. Meine Ideen: 1.) Dass $\begin{eqnarray} M\subseteq \mathbb R^m \end{eqnarray}$ k-dimensionale UMF ist, bedeutet ja definitionsgemäß, dass es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray} a\in M \end{eqnarray}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} U\subseteq \mathbb R^m \end{eqnarray}$ und eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} f=(f_1,...,f_{m-k}): U\to \mathbb R^{m-k} \end{eqnarray}$ mit folgenden Eigenschaften: 1.1) $\begin{eqnarray} M\cap U=\left\{x\in U : f_1(x)=...=f_{m-k}(x)=0\right\} \end{eqnarray}$ 1.2) Für jedes $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ hat die Ableitung $\begin{eqnarray} f'(x)\in Mat_{(m-k)\times m} \end{eqnarray}$ den (maximalen) Rang m-k. 2.) Dass $\begin{eqnarray} N\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ s-dimensionale UMF ist, heißt, dass es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray} b\in N \end{eqnarray}$ eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} V\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} g=(g_1,...,g_{n-s}): V\to \mathbb R^{n-s} \end{eqnarray}$ mit folgenden Eigenschaften gibt: 2.1) $\begin{eqnarray} N\cap V=\left\{y\in V : g_1(y)=...=g_{n-s}(y)=0\right\} \end{eqnarray}$ 2.2) Für jedes $\begin{eqnarray} y\in V \end{eqnarray}$ hat die Ableitung $\begin{eqnarray} g'(y)\in Mat_{(n-s)\times n} \end{eqnarray}$ den Rang n-s. Das sind die Voraussetzungen, von denen man ausgehen kann, wenn man von der Charaktersierung einer Untermannigfaltigkeit als Nullstellengebilde ausgeht. Aus 1.) und 2.) muss man sich jetzt irgendwie "zusammenbasteln", dass $\begin{eqnarray} M\times N \end{eqnarray}$ eine (k+s)-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist. 3.) Für alle $\begin{eqnarray} w=(w',w'')\in (M\times N) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} w'\in M, w''\in N \end{eqnarray}$ , ist eine Umgebung H zu finden sowie eine stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} h=(h_1,...,h_{(m+n)-(k+s)}): H\to \mathbb R^{(m+n)-(k+s)} \end{eqnarray}$ mit: 3.1) $\begin{eqnarray} (M\times N)\cap H=\left\{j\in H : h_1(j)=...=h_{(m+n)-(k+s)}(j)=0\right\} \end{eqnarray}$ 3.2) Für jedes $\begin{eqnarray} j\in H \end{eqnarray}$ hat die Ableitung Rang (m+n)-(k+s). Meine Idee wäre es $\begin{eqnarray} H:=U\times V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h:=(f_1,...,f_{m-k},g_1,...,g_{n-s}) \end{eqnarray}$ zu setzen. Ich bitte um Hilfe und Korrektur. Edit: Ich habe mittlerweile eine Lösung gefunden, die über die lokale Darstellung als Diffeomorphismus arbeitet. Ich wüsste dennoch gerne, ob man auch wie oben beweisen kann bzw, was ich falsch gemacht habe.
18.10.2021, 17:42	yvestnv3	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Ich finde deine Idee schonmal sehr gut aber ich denke du machst es dir etwas zu schwer. Die Charakterisierung der Untermannigfaltigkeit hast du ja schon richtig gesagt. Damit würde ich auch weitermachen. Nehmen wir mal an, wir haben $\begin{eqnarray} M_1 \subseteq \mathbb {R^N1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2 \subseteq \mathbb R^N2 \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} $M_1 \times M_2$ \end{eqnarray}$ ist eine Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{N1 + N2} \end{eqnarray}$ . Beweis: Wir finden offene Umgebungen $\begin{eqnarray} $U_1$ um $a$ und $U_2$ um b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} $a \in M_1$ und $b \in M_2$ \end{eqnarray}$ . Dann finden wir aber auch 2 Abbildungen f und g, welche definiert sind mit: $\begin{eqnarray} $f \in C^1(U_1,\mathbb R^N1$ und $g \in C^1(U_2,\mathbb R^N2$ \end{eqnarray}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray} $M_1 \cap U_1 = \{ x \in \mathbb R^N1 : f(x) = 0\}, M_2 \cap U_2 = \{y \in \mathbb R^N2 : g(y) = 0 \} \end{eqnarray}$ . Was Wissen wir über den Rang und das Kreuyprodukt dieser beiden? Viele Grüsse Yves.

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