Konvergenz von Reihen - Seite 2

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10.04.2011, 13:45	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry aber - ich bin gerade total verwirrt und weiss nicht mehr was ich mache bzw. was zu tun ist. Die obige Aussage ist nicht richtig, da es sich dabei um eine konvergente Minorante handelt. Aus diesem Grund wurde ein Vorfaktor benutzt. Diese Ausführung gilt aber nicht für alle Zahlen, da erst für Zahlen ab 2 die obige Ausführung gilt. Aber was ist nun zu tun
10.04.2011, 13:48	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt formst du $\begin{eqnarray} \frac{n-0{,}5n}{n^2} \end{eqnarray}$ um und hast eine divergente Minorante gefunden. Darum geht es ja, die Abschätzung muss nicht für alle natürlichen erfüllt sein. Es reicht wenn sie ab einer bestimmten natürlichen Zahl $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ erfüllt ist.
10.04.2011, 13:49	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Also kann man die Gleichung so stehen lassen?
10.04.2011, 13:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichung kannst du so stehen lassen. Natürlich nur mit der Bemerkung, dass diese nur für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ gilt.
10.04.2011, 13:53	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit diesem Vermerk lässt sich also festhalten, dass die Reihe divergiert, oder?
10.04.2011, 13:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur weil die Ungleichung da steht noch nicht, du solltest noch sagen warum die Reihe divergiert. Was erhältst du denn nach weiteren Umformungen? Worauf läuft das hier wieder hinaus?
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10.04.2011, 13:56	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, dass wir letztlich eine harmonnische Reihe haben, die gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ läuft.
10.04.2011, 13:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht einfach sagen, zeigen!
10.04.2011, 14:01	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n - 0,5n}{n^{2} } \left(n\geq 2\right) \end{eqnarray}$ für n = 2 gilt: 0,25 für n = 3 gilt: 0,1667 für n = 4 gilt: 0,125 0,25 + 0,1667 + 0,125 + .... Ist das so ausreichend und mathematisch korrekt?
10.04.2011, 14:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz ehrlich: ich habe überhaupt keine Ahnung was du damit ausdrücken willst. Guck dir am besten das Minorantenkriterium inklusive einiger komplett vorgerechneter Beispiele an, du scheinst noch nicht begriffen zu haben, was du da überhaupt machst.
10.04.2011, 14:20	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n^{2} } \geq \frac{n - 0,5n}{n^{2} } \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ Das würde ich so als Ergebnis stehen lassen. Leider konnte ich bisher keine guten Beispiele (inkl. Lösungsweg finden)
10.04.2011, 14:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Workshop zu den Reihen sind 2 Beispiele vollständig durchgerechnet. Und dein Ergebnis ist kein zufriedenstellendes Ergebnis. Dort steht nur eine Ungleichung, ohne Motivation wieso gerade diese Ungleichung, ohne eine Folgerung warum deshalb die Reihe divergiert...
10.04.2011, 14:32	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde daraus leider nicht schlau und weiss nicht, wie eine korrekte Antwort für meinen Fall aussehen könnte. Wärst du so nett, dass du mir anhand meines Beispieles den korrekten mathematischen Ausdruck niederschreiben könntest, damit ich ihn besser nachvollziehen kann.
10.04.2011, 14:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du denn das Vorgehen beim Majoranten/Minorantenkriterium verstanden? Das ist das eigentlich wichtige dabei. Ist dir klar, was wir suchen?
10.04.2011, 14:38	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir suchen eine Reihe bk, die man aus der ursprünglichen Gleichung her- bzzw. ableiten kann. Mit Hilfe der Reihe bk lässt sich die Konvergenz bzw. Divergenz bestimmen und auf die Ausgangsgleichung übertragen. Konvergiert beispielsweise bk, so muss auch ak konvergieren.
10.04.2011, 14:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, also suchen wir schon einmal eine Reihe, nennen wir sie $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty b_k \end{eqnarray}$ , keine Ungleichung wie du es oben stehen hast. Diese Reihe soll noch einiges erfüllen: 1. Sie ist divergent. 2. Für ein $\begin{eqnarray} N\in\mathbb N \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} M\in\mathbb R_+^ \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|a_k\|\geq M\cdot b_k~\forall k\geq N \end{eqnarray}$ . Wir haben jetzt gegeben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n-1}{n^2} \end{eqnarray}$ , wir suchen dazu eine passende divergente Reihe, die 1. und 2. erfüllt. Also: eine divergente Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty b_k \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n^2}\geq M\cdot b_k \end{eqnarray}$ für eine positive Zahl $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ab einem bestimmten Index $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Du musst das jetzt nur noch richtig zusammen setzen und korrekt argumentieren.
10.04.2011, 15:09	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wage ich mal einen Versuch. Da die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n - 0,5 n}{n^{2}} \end{eqnarray}$ (gilt nur für $\begin{eqnarray} n \geq 2) \end{eqnarray}$ eine divergente Reihe ist und die Ausgangsreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n - 1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ immer grösser oder gleich ist, ist auch diese Reihe divergent.
10.04.2011, 15:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n-0{,}5n}{n^2} \end{eqnarray}$ divergent?
10.04.2011, 15:13	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt auch: $\begin{eqnarray} \frac{n - 0,5 n}{n^{2} } = \frac{0,5 n}{n^{2} } = \frac{0,5}{n} \end{eqnarray}$ Da 1/n divergiert, sollte auch 0,5/n divergieren.
10.04.2011, 15:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} 0{,}5 \end{eqnarray}$ ist ein konstanter Faktor und kann vor die Reihe gezogen werden, damit haben wir jetzt also eine divergente Reihe gefunden, die unsere Anforderungen erfüllt. Wie sähe denn jetzt der komplette Nachweise der Divergenz aus?
10.04.2011, 15:20	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 0,5 \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n} \leq \sum\limits_{k=1}^n \frac{n-1}{n^{2} } \end{eqnarray}$ Bedingt durch die Divergenz der Reihe 1/n ist auch die Ausgangsreihe divergent.
10.04.2011, 15:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den entsprechenden Vorbemerkungen wäre damit jetzt die Divergenz gezeigt, ja.
10.04.2011, 15:43	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Iorek, vielen Dank für deine zahlreichen Tipps. Ich gehe davon aus, dass man einige weitere Beispiele noch rechnen muss, um einen besseren Überblick zu bekommen bzw. die Abläufe zu verinnerlichen. Eine letzte Frage habe ich noch - vllt. kannst du mir da auch weiterhelfen. $\begin{eqnarray} \frac{3}{5} + \frac{6}{9} + \frac{9}{13} + \frac{12}{17} + \frac{15}{21} + \cdot \cdot \cdot \end{eqnarray}$ Meinen Überlegungen nach, lässt sich die Reihe wie folgt beschreiben: $\begin{eqnarray} \frac{3k}{4k + 1} \end{eqnarray}$ Ist bei dieser Reihe das Majorantenkriterium sinnvoll? $\begin{eqnarray} \frac{3k}{4k + 1} \leq \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ Ergo würde es sich hierbei um eine konvergente Reihe handeln. Es gilt: $\begin{eqnarray} \frac{3k}{4k + 1} \leq \frac{3k}{4k + 1} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ In diesem Fall hätten wir eine konvergente Majorante.
10.04.2011, 15:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{3k}{4k+1}=\frac {3k}{4k} \end{eqnarray}$ ist wieder völliger Blödsinn, warum sollte das gleich sein? Und bist du sicher, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 34 \end{eqnarray}$ konvergiert?
10.04.2011, 15:53	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich nicht gleich. ( $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ selbstverständlich) $\begin{eqnarray} \frac{3k}{4k + 1} \leq \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4} \end{eqnarray}$ Sicher bin ich mir nicht. Ich bin davon ausgegangen, dass 0,75 < 1 ist. Hierbei hat es sich allerdings um das Quotientenkriterium gehandelt. Also liege ich falsch.
10.04.2011, 15:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann direkt gefragt: konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 34 \end{eqnarray}$ ?
10.04.2011, 15:58	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat einen konstanten Wert. Aus diesem Grund bin ich der Meinung, dass man nicht von Konvergenz bzw. Divergenz sprechen kann. Ich gehe davon aus, dass man mit einem anderen Kriterium arbeiten muss. Hätten wir mit dem Quotientenkriterium gearbeitet, hätten wir eine Aussage.
10.04.2011, 16:02	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte man nicht von Konvergenz oder Divergenz sprechen können? Es gibt da ein Kriterium, dass notwendig für die Reihenkonvergenz ist, das kommt hier zum Tragen.
10.04.2011, 16:07	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Das notwendige Kriterium einer geometrischen Reihe. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n q^{k} = \frac{q^{k}-1 }{q-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \Rightarrow \infty = \frac{1}{1-q} = 4 \end{eqnarray}$
10.04.2011, 16:08	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben hier doch gar keine geometrische Reihe vorliegen.
10.04.2011, 16:17	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich die Ausgangsreihe anschaut und aufsummiert, läuft die Reihe gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Daher sollten wir es mir einer harmonischen Reihe zu tun haben. Darüber hinaus werden die einzelnen Summanden immer grösser. Der maximale Wert eines Summandes wird bei 0,75 liegen.
10.04.2011, 16:21	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch bloßes Anschauen kann man zwar eine Vermutung zur Konvergenz äußern, aber das ist kein Beweis. Auch haben wir es hier nicht mit einer harmonischen Reihe zu tun. Und was du mit dem Rest sagen willst kann ich nicht nachvollziehen.
10.04.2011, 16:25	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich überfragt. Neben der geometrischen und der harmonischen Reihe kenne ich noch die alternierende Reihe. Allerdings haben wir hier keinen permanenten Vorzeichenwechsel. Dementsprechend scheidet diese Reihenart auch aus. Somit habe ich leider keine Idee, um welche Reihenart es sich handeln kann.
10.04.2011, 16:27	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht doch gar nicht darum, welche Reihenart hier vorliegt, es geht um das notwendige Kriterium für die Konvergenz einer Reihe.
10.04.2011, 16:34	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Das notwendige Kriterium für eine konvergente Reihe ist eine Nullfolge.
10.04.2011, 16:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ist hier eine Nullfolge gegeben?
10.04.2011, 16:36	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Da wir einen konstanten Wert von 0,75 haben, haben wir hier keine Nullfolge. Zumindest würde ich das sagen
10.04.2011, 16:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Also konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 34 \end{eqnarray}$ ? Wie sieht es mit deiner anderen Reihe aus, muss da überhaupt eine Abschätzung gemacht werden?
10.04.2011, 16:41	laNcE87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, dass die nicht konvergiert. Ich stehe gerade auf dem Schlauch? Welche Reihe meinst du? Die Ursprungsreihe? Da auch dort keine Nullfolge gegeben ist, konvergiert auch diese Reihe nicht.
10.04.2011, 16:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, in beiden Fällen liegt keine Nullfolge vor (wobei du das bei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3k}{4k+1} \end{eqnarray}$ noch zeigen solltest), also konvergieren die Reihen nicht.

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