Konvergenz von Reihen

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laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen
Hallo Leute,

bin frisch angemeldet und hoffe, dass man mir einige Tipps zur Untersuchung von Reihen geben kann. Ich habe bereits die SuFu benutzt und verschiedenen Themenbeiträge gelesen und versucht zu verstehen. Allerdings fehlt mir anscheinend das Grundverständnis. Daher benötige ich Hilfe.

Ziel ist es, dass die nachfolgenden Reihen nach Konvergenz untersucht werden sollen.



Mir ist es wichtig, dass man mir nicht sagt, mit welchen Kriterien die Reihen untersucht werden sollen, sondern das man mir Tipps zum selbstständigen Verstehen und Lösen der Aufgaben zukommen lässt. Da ich nicht weiss, wann welche Kriterien eingesetzt werden, würde ich gerne wissen, ob es Verallgemeinerungen gibt oder ob die Anwendung der Kriterien von den Aufgaben abhängig ist.

Grundsätzlich hatte ich die Idee, dass man jede Aufgabe versucht mit dem Quotientenkriterium zu lösen. Sollte keine ausreichenden Informationen gewonnen werden, würde ich mit weiteren Kriterien fortfahren. Ist diese Herangehensweise sinnvoll oder lässt sie sich optimieren.


Besten Dank vorab!


Als kleine zusätzliche Anmerkung:
Ich gehe davon aus, dass die Vereinfachung der Aufgaben ein Punkt ist, den ich bisher vernachlässigt habe.
Dementsprechend würde beispielsweise für C gelten:

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Immer mit dem Quotientenkriterium anzufangen ist natürlich eine Möglichkeit, allerdings keine empfehlenswerte. Es gehört u.A. Übung, Grundwissen über Standardreihen und ein "gutes Auge" dazu um direkt das richtige Kriterium zu verwenden. Eine Einführung inklusive einiger Beispiele findest du z.B. in [WS] Reihen. Dort ist z.B. auch enthalten, wieso das Quotientenkriterium bei deinen Reihen a) und c) keine Aussage trifft.
 
 
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Iorek,

vielen Dank für die zügige Antwort. Ich werde mir den von dir angegeben Thread mal genauer anschauen.

Eine kleine Frage habe ich allerdings an dich. Kann ich aus deinen Aussagen entnehmen, dass in den Fällen a) und c) das Quotientenkriterium aufgrund der Summe im Nenner bzw. der Different im Zähler keine Informationen gesammelt werden können?

Zur Info:
Die Aussage wurde vor dem Lesen deines Threads getroffen!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, mit der Summe bzw. Differenz hat das nur bedingt zu tun. Vielmehr ist das Quotientenkriterium (wie auch das Wurzelkriterium) bei den harmonischen Reihen machtlos.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Iorek,

harmonische Reihe bedeutet, dass ein immer kleiner werdender Summand hinzugefügt wird. Für die Beispiele a) und c) erkennt man das an der größeren Potenz im Nennen.

Für die beiden erstgenannten Beispiele würde ich gerne deine Herangehensweise verstehen. Da wir in der Vorlesung bislang nur über das Leibniz-, Majoranten- und Quotientenkriterium besprochen haben, müssen die beiden erst genannten Kriterien zur Lösung des Problems führen.

Für Anwendungsfall b) würde unter der Anwendung der Quotientenkriteriums folgender rauskommen:



Wie geht es nun weiter? Ich habe mal gelesen, dass man nun durch die höchste Potenz teilen muss. Ist das korrekt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von laNcE87
harmonische Reihe bedeutet, dass ein immer kleiner werdender Summand hinzugefügt wird. Für die Beispiele a) und c) erkennt man das an der größeren Potenz im Nennen.


Das würde ich so nicht stehen lassen, die allgemeine harmonische Reihe ist einfach für .

Auch bei der (absolut konvergenten) Reihe werden die nachfolgenden Summanden immer kleiner, es ist aber keine allgemeine harmonische Reihe.

Zitat:
Original von laNcE87


Wie geht es nun weiter? Ich habe mal gelesen, dass man nun durch die höchste Potenz teilen muss. Ist das korrekt?


Bilde den Grenzwert für .
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die folgende Vorgehensweise korrekt?



Für würde die Reihe gegen Null laufen und wäre dementsprechend kleiner 1 und als konvergent anzusehen.


Und welche ersten Überlegungen würdest du bei den anderen Aufgaben anstreben?


***Edit***
Oder stimmt folgende Überlegung



Es gilt = 0,8
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht korrekt, bei dir steht jetzt z.B. , also wäre und damit wäre (woraus oder folgen würde, beides Werte die nicht für eingesetzt werden dürfen).

Eine Möglichkeit: Binom im Zähler auflösen, dann kannst du durch die höchste Potenz dividieren.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Iorek,

Fehler habe ich selber eingesehen.



Es gilt = 0,8
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also kannst du mit Hilfe des Quotientenkriteriums jetzt was über die Konvergenz der Reihe sagen?
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach Ja.

Da 0,8 < 1 ist, sollte die Reihe als absolut konvergent anzusehen sein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, damit wäre Aufgabe b) erledigt sein.

Zu a) und c): Ich habe dir bereits gesagt, dass das Quotientenkriterium keine Aussage liefern wird (was du gern noch selber überprüfen kannst), bleibt für dich also nur das Leibnizkriterium oder das Majorantenkriterium übrig.

Kannst du das Leibnizkriterium hier anwenden? Wie sieht es mit dem Majoranten/Minorantenkriterium aus?
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist genau mein Problem. Ich weiss nicht, wie man an solche Aufgaben rangeht.

Ich bin nun froh, dass ich das Quotienkriterium in Ansätzen verstanden habe.

Angenommen den Fall, dass ich für Aufgabenteil c) auch das Q-Kriterium anwenden würde...



Für würde der komplette Ausdruck gegen Null laufen. Reicht diese Aussage nicht aus ?


Frage:

Da der Zähler des ersten Ausdruckes gegen 0 läuft, ist eine Lösung der Aufgabe mit dem Q-Kriterium nicht sinnvoll? Ist das korrekt?

Update:

Eigentlich liefert das Kriterium keine Aussage, wenn = 1 rauskommt...
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Update #2:

Ich würde bei den beiden anderen Aufgaben auf das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium verweisen, da die "Grundform" (so würde ich es nennen) für das Leibnizkriterium nicht gegeben ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Vielmehr ist das Quotientenkriterium (wie auch das Wurzelkriterium) bei den harmonischen Reihen machtlos.

Wie beide Kriterien generell keine Aussagen liefern bei gebrochen rationalen Reihengliedern.

Das sollte vielleicht mal deutlicher den Schülern und Studenten vermittelt werden, das erspart jede Menge sinnloser Versuche in der Richtung. Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest mehr Sorgfalt walten lassen, du schreibst jetzt: , das stimmt so nicht.

Danach machst du irgendwo einen Umformungsfehler, der Ausdruck strebt nämlich nicht gegen 0 sondern gegen 1.

Das Majorantenkriterium ist das Mittel der Wahl, für das Leibnizkriterium müsste eine alternierende Reihe vorliegen.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wage mal einen Versuch mit dem Majorantenkriterium



Ergo ist die Reihe divergent.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Du solltest mehr Sorgfalt walten lassen, du schreibst jetzt:


, das ist falsch!

Du solltest eine geeignete Abschätzung machen.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung habe ich mit Hilfe eines Mathebuches versucht zu schaffen. Der Wortlaut lautet dort:

- Im Zähler die höchste Potenz mit Koeffizienten abschreiben, alles mit - weglassen, alles mit + wird zu + Koeffizient mal höchste Potenz

- Im Nennen die höchste Potenz mir Koeffizienten abschreiben, alles mit + weglassen, alles mit - wird zu - Koeffizient mal höchste Potenz

- Vereinfachen und Kürzen


Oder ist die Schreibweise falsch?

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt soweit richtig, bringt dich aber nicht weiter. unglücklich

Du hast gegen eine divergente Majorante abgeschätzt, das gibt überhaupt keine brauchbaren Informationen. Du brauchst entweder eine divergente Minorante oder eine konvergente Majorante um eine Aussage über die Konvergenz zu machen.

Du solltest also nach unten abschätzen.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Iorek,

jetzt muss ich aber mal nachfragen. Ich habe doch die Information gewonnen, dass es sich bei der Aufgabenstellung um eine divergente Reihe handelt. Warum ist das nicht ausreichend?

Darüber hinaus gilt aber auch:



Mit Hilfe des Minoratenkriteriums komme ich zum selben Ergebnis. Die Reihe divergiert.

Mache ich etwas falsch oder warum ist dieser Rechenschritt notwendig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist es in der Tat falsch, bist du ganz sicher, dass gilt?
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein bin ich nicht unglücklich

Es gilt:


Aber warum ist eine zweite Abschätzung notwendig?

Reicht die Majorante nicht aus?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Majorante meinst du denn? Bisher haben wir noch gar keine Majorante, und wir brauchen auch keine Majorante um die Divergenz nachzuweisen. Wir brauchen eine divergente Minorante.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung besagt, dass geprüft werden soll, ob die Reihen konvergieren.

Mit Hilfe des Majoratenkriteriums wurde folgendes festgestellt:



Diese Reihe divergiert.


Du meintest:

"Das ist jetzt soweit richtig, bringt dich aber nicht weiter. unglücklichDu hast gegen eine divergente Majorante abgeschätzt, das gibt überhaupt keine brauchbaren Informationen. Du brauchst entweder eine divergente Minorante oder eine konvergente Majorante um eine Aussage über die Konvergenz zu machen." Darüber hinaus sollte man nach unten abschätzen.

Warum reicht es nicht aus, dass die Reihe 1/n divergiert?

Als Zusatz wurde mit Hilfe des Minoratenkriteriums folgendes festgestellt:
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von laNcE87
Die Aufgabenstellung besagt, dass geprüft werden soll, ob die Reihen konvergieren.

Mit Hilfe des Majoratenkriteriums wurde folgendes festgestellt:



Diese Reihe konvergiert.


Ganz einfach, das ist falsch.

Du schätzt gegen eine divergente Majorante ab, das bringt dir nichts. Eine größere Reihe die divergiert gibt dir keine Aussage über die Konvergenz. Darum bringt dich diese richtige Abschätzung nicht weiter.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte bereits selber gesehen, dass ich mich dort verschrieben habe. Die Reihe 1/n divergiert natürlich.

Woher weiss man, wann man mit einer Majoranten bzw. einer Minoranten arbeitet?

Diesen Gedankensprung habe ich noch nicht genau verstanden verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Erfahrung.

Mit etwas Übung kann man bei diesen Reihen oft schätzen, ob sie konvergieren oder divergieren. Dementsprechend kann man dann nach einer Majorante bzw. Minorante suchen. Hilfreich ist die sehr grobe (und formal nicht unbedingt zu verwendende) Überlegung: für große ist , z.B. für fällt die 2 im Nenner kaum noch ins Gewicht. Das könnte ein erster Gedanke sein der auf die Suche nach einer divergenten Minorante führt.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ergo ist die folgende Lösung richtig:



Die Reihe divergiert.

Nun haben wir allerdings noch eine Aufgabe, die ich hoffentlich richtig lösen kann.



Meiner Meinung nach muss man bei dieser Aufgabe mit einer Majoranten rechnen, da bei einer Minoranten der Zähler 0 werden würde. Ich hoffe, dass ich dabei korrekt liege.



Ergo divergiert die Reihe
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieder schätzt du gegen eine divergente Majorante ab. unglücklich

Noch einmal: eine divergente Majorante bringt dir überhaupt nichts, eine konvergente Minorante ist auch sinnlos.

Nützlich ist entweder eine divergente Minorante oder eine konvergente Majorante, nur damit bekommst du eine Konvergenzaussage.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

hm...

Wenn ich nun mit dem Minorantenkriterium an die Sache rangehen würde, ergibt sich folgendes:




Das ergibt doch keinen Sinn oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das führt auf den konstanten Summanden 0 und somit hätten wir eine konvergente Minorante, also wieder keine Aussage.

Du könntest aber dem in deiner Abschätzung noch einen Vorfaktor spendieren, damit klappts dann.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, was du genau meinst. Ich versuche es aber trotzdem:


Könnte man beispielsweise sagen:



Oder ist das nicht zulässig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine gute Frage, eigentlich solltest du die beantworten. Augenzwinkern

Gilt für alle natürlichen Zahlen? Und ist es für das Minorantenkriterium überhaupt notwendig, dass die Abschätzung für alle natürlichen Zahlen gilt?
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Das trifft nicht für alle Zahlen zu. Für den Fall n = 1 wäre die Formel falsch.

Für das Minorantenkriterium sind mMn alle Zahlen > 1 von Bedeutung. Ich kann mich aber auch, wie so häufig, irren :/
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schlag das Kriterium doch einmal nach.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »

Laut deinen Ausführungen gilt:

(sofern ich es richtig verstanden habe)


Ich stehe aber momentan komplett auf dem Schlauch unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschätzung muss erst ab einem bestimmten Index erfüllt sein.
laNcE87 Auf diesen Beitrag antworten »



Man kann also sagen, dass die Reihe divergiert.




Man nimmer statt der 0,5 eine 2
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kannst du denn jetzt schon direkt sagen, dass die Reihe divergiert?

Und wo nimmst man statt der 0.5 eine 2? verwirrt
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