Gruppe als Vereinigung von echten Untergruppen [ÜAB]

09.04.2011, 21:52

tigerbine

Gruppe als Vereinigung von echten Untergruppen [ÜAB]

Für zwei echte Untergruppen u, V einer Gruppe G ist nicht möglich, dass gilt: $\begin{eqnarray*} G =U \cup V \end{eqnarray*}$

Beweis:
Sei o.b.d.A. $\begin{eqnarray*} |U| \leq |V|<|G| \end{eqnarray*}$ . Es gelte $\begin{eqnarray*} G=U \cup V \end{eqnarray*}$ , dann gibt es mindestens ein u in U, welches nicht in V liegt. Sei nun v aus V beliebig ungleich dem neutralem Element. Dann liegt uv in G, aber nicht nicht in $\begin{eqnarray*} U \cup V \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

Für drei echte Untergruppen ist aber $\begin{eqnarray*} G=U \cup V \cup W \end{eqnarray*}$ möglich. Beispiel: kleinsche Vierergruppe.

09.04.2011, 22:09

tmo

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Du musst aber auch noch sicherstellen können, dass du das v so wählen kannst, dass es nicht in U liegt.

09.04.2011, 22:17

tigerbine

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Also es war $\begin{eqnarray*} |U| \leq |V|<|G| \end{eqnarray*}$ . Wenn gilt $\begin{eqnarray*} G=U \cup V \end{eqnarray*}$ , dann muss gelten $\begin{eqnarray*} U \cap V \neq U \end{eqnarray*}$ . Damit ist doch $\begin{eqnarray*} |U \cap V| < |U| \leq |V| \end{eqnarray*}$ und ich finde so ein v... verwirrt

Im Text fehlt aber, dass ich v so gewählt habe.

09.04.2011, 22:50

tmo

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Genau. Dass man das v so wählen kann, ist nicht schwer einzusehen. Aber es sollte halt dastehen. Weil sonst könnte ja durchaus $\begin{eqnarray*} uv \in U \end{eqnarray*}$ sein und der Widerspruch wäre futsch.

09.04.2011, 22:53

tigerbine

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Gut, dann habe ich richtig gedacht. Aber natürlich muss ich das auch so notieren. Danke!

10.04.2011, 09:30

Mystic

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Um ehrlich zu sein, würde ich die ganze Beweisidee ein bißchen anders präsentieren, nämlich so:

Ist $\begin{eqnarray*} G = U \cup V \end{eqnarray*}$ , so kann nicht $\begin{eqnarray*} U \subseteq V \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} V \subseteq U \end{eqnarray*}$ gelten, da andernfalls $\begin{eqnarray*} G=V \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} G=U \end{eqnarray*}$ wäre, im Widerspruch dazu, dass U und V echte Untergruppen von G sein sollten... Ich kann daher Elemente

$\begin{eqnarray*} a \in U \setminus V, \quad b \in V \setminus U \end{eqnarray*}$

wählen... Dann müsste aber ab in U oder V liegen und beides führt auf einen Widerspruch, z.B.

$\begin{eqnarray*} ab \in U \Rightarrow b \in a^{-1}U=U \end{eqnarray*}$

Dieser Beweis gefällt mir auch unter ästhetischen Gesichtspunkten besser, als er die Symmetrie zwischen U und V so weit wie möglich wahrt und nicht von Anfang an zerstört... Des weiteren funktioniert das auch klaglos so, wenn G unendlich ist, während bei dir dann plötzlich und eigentlich unnötigerweise unendliche Kardinalitäten ins Spiel kommen... Wink

10.04.2011, 16:09

tigerbine

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Hallo,

danke für den post und die "Feinkritik". Wie leicht man sich doch auch bei richtiger Idee auf dünnes Eis begeben kann.

Zitat:

Des weiteren funktioniert das auch klaglos so, wenn G unendlich ist, während bei dir dann plötzlich und eigentlich unnötigerweise unendliche Kardinalitäten ins Spiel kommen...

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