formaler Beweis für Teilbarkeitsregel |
09.04.2011, 22:16 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
formaler Beweis für Teilbarkeitsregel die Teilbarkeitsregel für 3 ist ja sehr bekannt: "Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist." Zeigen kann man das an einem Beispiel (wie ich hier im Forum gelernt habe): 12345 = 10000 + 2000 + 300 + 40 + 5 = 1*10000 + 2*1000 + 3*100 + 4*10 + 5 = 1*(9999+1) + 2*(999+1) + 3*(99+1) + 4*(9+1) + 5 = 1*9999 + 2*999 + 3*99 + 4*9 + 1+2+3+4+5 Da der blaue Teil auf jeden Fall durch 3 teilbar ist (sogar durch 9), ist leicht zu sehen, da dies Summen von Vielfachen von 9 sind (also auch von 3). Der grüne Teil entspricht dabei der Quersumme. Es hängt also von der Quersumme ab, ob die Zahl durch 3 teilbar ist (analog für 9). Zusätzlich kann man anmerken, dass auch NUR DANN die Zahl auch durch 3 teilbar ist, wenn die Quersumme durch drei teilbar ist. Das liegt daran, weil der blaue Teil stets durch drei teilbar ist. --- Allerdings interessiert mich nun ein formaler Beweis. Anfangen kann man ja dadurch, dass die n-stellige natürliche Zahl auch geschrieben werden kann als: mit als Ziffern von x (beginnend mit der Einerziffer). Die Quersumme kann einfach als dargestellt werden. Doch wie komme ich auf einen allgemeinen Beweis? Tipps sind am Anfang gewünscht. Pascal |
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09.04.2011, 22:48 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst doch einfach nur dein Beispiel verallgemeinern. Dazu musst dann natürlich zeigen, dass stets gilt. 3 würde auch schon reichen, aber es ist kein Mehraufwand gleich die Teilbarkeit durch 9 zu zeigen. Entweder per Induktion oder auch über die geometrische Summenformel. Der einfachste Beweis für diese Teilbarkeitsregel ist übrigens einfach der Übergang in , denn dort gilt 1=10, also folgt sofort . Aber diese Mittel stehen dir anscheinend noch nicht zur Verfügung, oder? |
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09.04.2011, 22:59 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel Wie soll ich hier die geometrische Summenformel verwenden, wenn da noch steht? Ich kenne nur die Summenformel für: |
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09.04.2011, 23:03 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du sollst die geometrische Summenformel verwenden um diese Aussagen zu zeigen:
Weil in deinem Beispiel hast du einfach immer die Zahlen hingeschrieben: 9999, 999, etc. Aber das muss man dann natürlich für jedes i beweisen. |
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09.04.2011, 23:12 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sollte richtig sein. |
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10.04.2011, 10:40 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig. Jetzt musst du das alles nur noch zu einem Beweis zusammenbasteln. |
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10.04.2011, 11:39 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel Kann ich dann so fortfahren (ist ja analog zum Beispiel aufgebaut): ? |
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10.04.2011, 11:40 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel Ja, kannst du... Und wie geht's weiter? |
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10.04.2011, 12:20 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel --- Da ich gezeigt habe, dass stets durch 3 (sogar durch 9) teilbar ist, ist hier ersichtlich, dass es nur von abhängt (also gerade der Quersumme). |
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10.04.2011, 12:31 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel Ja, so kann man das beweisen... |
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10.04.2011, 13:28 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! P.S.: Und sorry, dass ich nicht immer sofort geantwortet habe |
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