formaler Beweis für Teilbarkeitsregel

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
formaler Beweis für Teilbarkeitsregel
Hallo,

die Teilbarkeitsregel für 3 ist ja sehr bekannt:
"Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist."

Zeigen kann man das an einem Beispiel (wie ich hier im Forum gelernt habe):

12345
= 10000 + 2000 + 300 + 40 + 5
= 1*10000 + 2*1000 + 3*100 + 4*10 + 5
= 1*(9999+1) + 2*(999+1) + 3*(99+1) + 4*(9+1) + 5
= 1*9999 + 2*999 + 3*99 + 4*9 + 1+2+3+4+5

Da der blaue Teil auf jeden Fall durch 3 teilbar ist (sogar durch 9), ist leicht zu sehen, da dies Summen von Vielfachen von 9 sind (also auch von 3).

Der grüne Teil entspricht dabei der Quersumme.

Es hängt also von der Quersumme ab, ob die Zahl durch 3 teilbar ist (analog für 9).

Zusätzlich kann man anmerken, dass auch NUR DANN die Zahl auch durch 3 teilbar ist, wenn die Quersumme durch drei teilbar ist. Das liegt daran, weil der blaue Teil stets durch drei teilbar ist.

---

Allerdings interessiert mich nun ein formaler Beweis.
Anfangen kann man ja dadurch, dass die n-stellige natürliche Zahl auch geschrieben werden kann als:
mit als Ziffern von x (beginnend mit der Einerziffer).

Die Quersumme kann einfach als dargestellt werden.

Doch wie komme ich auf einen allgemeinen Beweis?

Tipps sind am Anfang gewünscht.

Pascal
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch einfach nur dein Beispiel verallgemeinern.

Dazu musst dann natürlich zeigen, dass stets gilt. 3 würde auch schon reichen, aber es ist kein Mehraufwand gleich die Teilbarkeit durch 9 zu zeigen.

Entweder per Induktion oder auch über die geometrische Summenformel.

Der einfachste Beweis für diese Teilbarkeitsregel ist übrigens einfach der Übergang in , denn dort gilt 1=10, also folgt sofort .

Aber diese Mittel stehen dir anscheinend noch nicht zur Verfügung, oder?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel


Wie soll ich hier die geometrische Summenformel verwenden, wenn da noch steht?

Ich kenne nur die Summenformel für:
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst die geometrische Summenformel verwenden um diese Aussagen zu zeigen:

Zitat:
Original von tmo
Dazu musst dann natürlich zeigen, dass stets gilt.


Weil in deinem Beispiel hast du einfach immer die Zahlen hingeschrieben: 9999, 999, etc.

Aber das muss man dann natürlich für jedes i beweisen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »


sollte richtig sein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Jetzt musst du das alles nur noch zu einem Beweis zusammenbasteln.
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel
Kann ich dann so fortfahren (ist ja analog zum Beispiel aufgebaut):



?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel
Ja, kannst du... Und wie geht's weiter?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel


---

Da ich gezeigt habe, dass stets durch 3 (sogar durch 9) teilbar ist, ist hier ersichtlich, dass es nur von abhängt (also gerade der Quersumme).
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: formaler Beweis für Teilbarkeitsregel
Ja, so kann man das beweisen... Freude
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

P.S.: Und sorry, dass ich nicht immer sofort geantwortet habe Augenzwinkern
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