Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit

10.04.2011, 10:08	Ananym	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit Meine Frage: Ich sitze gerade vor einer Aufgabe, aber mir fällt kein Vernünftiger Ansatz ein... Die Aufgabe: Zeigen sie, dass die folgenden Mengen bezüglich der oben angegebenen Vektorräume (eine wäre f(x)=ax+b) sowohl Erzeugendensysteme als auch linear unabhängig sind. a) B1 = {1,x}, B2 = {1+x,1-x} Meine Ideen: Das ist jetzt nur ein Teil der Aufgabe, aber ich möchte eh nur einen Ansatz finden. Man weiß ja, dass Vektoren nur dann ein Erzeugendensystem ist, wenn man 2 Vektoren Linear kombinieren kann. und Vektoren sind dann linear unabhängig wenn v(n)+e(n) = 0 und v1=v2=v(n)=0 gilt.
10.04.2011, 10:12	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem und lineare Unabhängigkeit Du kannst entweder die Isomorphie des Vektorraums der Polynome vom Grad n zu dem Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray}$ ausnutzen oder aber du führst einen Koeffizientenvergleich durch. Nehmen wir einmal die Menge {1,x} und bilde eine Linearkombination der beiden Elemente, wann wird diese 0?
10.04.2011, 10:26	Ananym	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja also es ist so, dass bei der vorigen Aufgabe ja schon Vektorräume angegeben wurde. Nämlich die lineare Funktion, aber auch die Menge eines Polynoms sowie der des Nullvektors. Sprich ich muss zu allen drei Vektorräume das EZS zeigen.
10.04.2011, 10:32	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche lineare Funktion? Die Menge eines Polynoms? Ein Polynom macht noch keinen Vektorraum, ausser das Nullpolynom, das ist tatsächlich ein Vektorraum. Du sollst doch zeigen, dass die Menge {1,x} eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Grad 1 ist, oder etwa nicht? Dann benutze einfach die Definition der Basis, zeige, dass die Elemente 1 und x linear unabhängig sind und dass jedes Polynom vom Grad 1 darstellbar ist als Linearkombi dieser beiden Elemente, dann hast du ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis.
10.04.2011, 10:42	Ananym	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Aufgabenstellung lautet ja: Zeigen sie, die folgenden Mengen bezüglich der oben Angegebenen Vektorräume. So, und die Vektorräume, die oben angegeben sind, ist eine Aufgabe gewesen. In dieser Aufgabe musste man zeigen, dass diese Funktionen auch Vektorräume sind. einmal f:R->R,x->f(x)=ax+b , a,beR Summant ai x^i (i=o bis n) und der Nullvektor. und jetzt sagt doch die Aufgabe, dass man zu den Vektorräume die Mengen beziehen muss unda das EZS sowie die lineare Abhängigkeit bestimmen muss. Also lineare Abhängigkeit ist ja eigentlich klar, aber da wüsste ich nicht, wie genau ich jetzt die linearkombination schreiben sollte, aber wie ich das EZS zeigen soll, da weiß ich das noch gar nicht
10.04.2011, 11:56	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt drück dich doch mal klar aus, ich hab da oben auch schon etwas zu geschrieben. Du sollst mit Sicherheit nicht zeigen, dass die Menge, die ein beliebiges Polynom enthält ein Vektorraum ist, sondern dass die Menge, die alle Polynome vom Grad <= 1 (über einem Körper K) enthält ein Vektorraum ist, namentlich der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner/gleich 1 (über dem Körper K). Das hast du also getan, nun ist zu zeigen, dass die Menge {x,1} eine Basis dieses Vektorraums ist, also ist zu zeigen, dass sie ein Erzeugendensystem ist, das ist schon fast trivial, wir bilden eine Linearkombination: $\begin{eqnarray} a \cdot x + b \cdot 1,~a,b \in \mathbb K \end{eqnarray}$ , wobei K der zugrunde liegende Körper ist, in unserem Fall IR. Nun sind zwei Dinge zu überprüfen: 1.) Kann durch diese Linearkombination jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 1 dargestellt werden? Wenn ja, dann haben wir ein Erzeugendensystem 2.)Sind die Elemente linear unabhängig, also hat die Gleichung $\begin{eqnarray} ax+b=0 \end{eqnarray}$ nur die trivialen Lösungen a=b=0? Hier hilft ein Koeffizientenvergleich. Wenn beides hinhaut, also minimales Erzeugendensytem haben wir eine Basis. Analog für die zweite Menge {x-1,x+1}: Linearkombination: $\begin{eqnarray} a(x-1)+b(x+1) \end{eqnarray}$ . Nun überprüfen, ob es sich um ein Erzeugendensystem handelt und ob die Gleichung $\begin{eqnarray} a(x-1)+b(x+1)=0 \end{eqnarray}$ nur die trivialen Lösungen besitzt. Edit: und verschoben in die Algebra.
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10.04.2011, 13:13	Ananym	Auf diesen Beitrag antworten »
genau die infos haben mir gefehlt - hattest mich also doch verstanden vielen dank!
10.04.2011, 16:01	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe in keinem Post etwas anderes geschrieben als in dem letzten, da nur etwas ausführlicher. Desweiteren musst du lernen, dich klar auszudrücken, "die Menge eines Polynoms" kann nur schwer interpretiert werden als die Menge der Polynome eines bestimmten Grades. Im Zweifel schreibe die Aufgabe wortwörtlich so auf, wie du sie bekommen hast. Wenn du noch Fragen hast kannst du sie gerne stellen, du kannst auch deine Lösung ausführlich posten, dann kann da noch einmal drüber geschaut werden.

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