Lineare Abbildungen

10.04.2011, 11:17

vladi4life

Lineare Abbildungen

Meine Frage:
Herzerfrischendes Moin Moin an alle durchgeknallte=).
Eine schöne Aufgabe zum Sonntagmorgen.

Wie viele lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} f : (Z/_{2Z} )^{2} -> (Z/_{2Z} )^{2} \end{eqnarray*}$ gibt es denn ? Und wenn es welche gibt - wie viele davon sind injektiv, surjektiv bzw. bijektiv ???

Meine Ideen:
Ideen bis jetzt keine. Reines Raten =)

10.04.2011, 11:22

vladi4life

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RE: Lineare Abbildungen
Also das Quadrat außerhalb der Klammer bringt mich ins Stutzen. Es ist alles richtig geschrieben, aber wie gesagt - bräuchte Hilfe

10.04.2011, 11:24

LoBi

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Die kann man ja per "Hand" aufzählen.
Der Körper Z/2Z enthält nur die Elemente 0,1.

Edit: Das Quadrat bedeutet $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$

10.04.2011, 11:28

vladi4life

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Ja, und das Quadrat? Was soll es aussagen, wenn das Quadrat nicht über [latex] 2Z^{2} steht, sondern über ()

10.04.2011, 11:28

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 2 \mathbb Z = \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist der Körper mit 2 Elementen. Also ist $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/ 2 \mathbb Z)^2 = (\mathbb F_2)^2 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum der Dimension 2 über diesem Körper. Das ist so wie immer, für einen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ der kanonische Vektorraum der Dimension n über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

10.04.2011, 11:36

vladi4life

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Trotzdem unklar, wieviele lin. Abb. es geben sollte

10.04.2011, 11:43

Elvis

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Wieviele lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} K^n\to K^n \end{eqnarray*}$ gibt es ? Tipp: lineare Abbildungen lassen sich durch Matrizen darstellen.

10.04.2011, 11:50

vladi4life

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Also es gibt genau eine lin. Abb. von $\begin{eqnarray*} K^{n} -> K^{n} \end{eqnarray*}$

10.04.2011, 11:56

LoBi

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Nein.
Denk mal über den Tipp von Elvis nach.
Gäbe es nur eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} K^{n}%20-%3E%20K^{n} \end{eqnarray*}$ , gäbe es auch nur eine $\begin{eqnarray*} K^{n \times n } \end{eqnarray*}$ Matrix.

10.04.2011, 12:01

vladi4life

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Aaaalso, wenn man das nun in Betracht zieht - gibts dann 4 lin. Abb. die man mit Hilfe der Matrizen darstellen kann oder ?

10.04.2011, 12:02

Elvis

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Nein.

10.04.2011, 12:46

vladi4life

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Werden wir nun das Raten spielen oder kann mir endlich jemand helfen ?

10.04.2011, 13:22

BigSmile

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Hallo!
Also ich sitze vor der gleichen Aufgabe. Ich denke eher das die Zahl der lin Abb. 8 beträgt, aber mich interessiert wie man das zeigen kann?

10.04.2011, 13:53

vladi4life

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Zitat:

Original von BigSmile
Hallo!
Also ich sitze vor der gleichen Aufgabe. Ich denke eher das die Zahl der lin Abb. 8 beträgt, aber mich interessiert wie man das zeigen kann?

Hi bigsmile. hast irgendwelche Ideen ?

10.04.2011, 13:59

BigSmile

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Naja im Prinzip könnte man sich die beiden Elemente der Vektorräume aufschreiben und dann "ablesen" wie viele Abbildungen es gibt und dann auch viele injektive, surjektive etc. Aber das ist nicht wirklich die feine mathematische Art.

10.04.2011, 14:24

LoBi

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8 sind es auch nicht.
Ich würde den Vektorraum der $\begin{eqnarray*} M(2 \times 2, \mathbb%20Z/2 \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ Matrizen betrachten, der ja alle Abbildungen $\begin{eqnarray*} %20%20f%20:%20(Z/_{2Z}%20)^{2}%20-%3E%20(Z/_{2Z}%20)^{2} \end{eqnarray*}$ repräsentiert.
Wie sieht eine Basis von $\begin{eqnarray*} M(2 \times 2, \mathbb%20Z/2 \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ aus ?

10.04.2011, 14:31

vladi4life

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Da gebe ich Dir Recht!

10.04.2011, 15:49

Elvis

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Jede lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} K^2\to K^2 \end{eqnarray*}$ wird durch eine 2x2-Matrix dargestellt. Die Anzahl der Koeffizienten einer 2x2-Matrix ist 4.
Ihre Elemente sind hier aus $\begin{eqnarray*} K=\mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ , also 2 Möglichkeiten für jeden Koeffizienten, nämlich jeweils 0 oder 1.

Also nicht 1,2,4 oder 8 sondern $\begin{eqnarray*} |K|^{n^2} \end{eqnarray*}$

10.04.2011, 15:59

tmo

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Man kommt auf die Anzahl übrigens auch, wenn man sich überlegt, wie viele Elemente eine Basis hat und dann beachtet, dass eine lineare Abbildung eindeutig durch die Bilder einer Basis festgelegt wird. D.h. dann muss einfach nur noch gucken wie viele Möglichkeiten es gibt das Bild eines Basisvektors zu wählen. Das sind natürlich einfach nur die Anzahl aller Elemente im Vektorraum. Und soviele Möglichkeiten gibt es dann für jeden Basisvektor.

Mit diesem Ansatz kommt man dann auch ganz gut auf die Anzahl bijektiver Abbildungen (man beachte, dass es sich um einen Endomorphismus auf einem endlicherzeugten VR handelt, injektiv und surjektiv also sowieso nur zusammen auftreten).

10.04.2011, 16:52

vladi4life

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Und wie kommt man nun auf die Anzahl der bijektiven, surjektiven, injektiven Abb. hier ?

10.04.2011, 20:50

alk_pro

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Würd ich auch gerne wissen smile

)))

10.04.2011, 21:04

jester.

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Zitat:

Original von vladi4life
Werden wir nun das Raten spielen oder kann mir endlich jemand helfen ?

Zitat:

Original von vladi4life
Da gebe ich Dir Recht!

Nur damit keine Missverständnisse aufkommen: im Matheboard gibt es Hilfe zur Selbsthilfe, das heißt man ist hier zur Mitarbeit und zum Mitdenken verpflichtet. Das und noch mehr kannst du in unserem Prinzip "Mathe online verstehen!" nachlesen.

Dann zur Aufgabe: tmo hat doch eigentlich alles wichtige gesagt. Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder einer Basis eindeutig festgelegt. In Matrixschreibweise ist eine lineare Abbildung also durch ihre Spalten festgelegt. Damit diese bijektiv ist, muss sie insbesondere surjektiv sein (da wir uns in einem endlich-dimensionalen Vektorraum befinden und auch wieder in diesen abbilden, ist Bijektivität äquivalent zur Surjektivität). D.h. die Spalten müssen wieder eine Basis bilden, also insbesondere linear unabhängig sein.
Somit wird das ganze zur kombinatorischen Fragestellung: welche Vektoren kann man für die erste Spalte auswählen? Tipp: Jeder Vektor bis auf einen bestimmeten Vektor ist linear unabhängig. Wie viele kann ich dann noch wählen, damit die zwei Spalten gemeinsam auch linear unabhängig sind?

10.04.2011, 21:21

BigSmile

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Also nur um zu sehen ob ich alles verstanden habe:
Die Basis der Vektorräume sollte $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ sein.
Die Vektoren, welche in Frage kommen sind dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.
Der einzige Vektor der linear unabhängig ist, ist der Nullvektor, oder?
Jetzt weiß ich nicht so richtig wie ich die Matrix aufspannen soll?

10.04.2011, 21:36

jester.

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Zitat:

Original von BigSmile
Die Basis der Vektorräume sollte $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ sein.

Die Basis ist das sicherlich nicht, aber eine mögliche.

Zitat:

Die Vektoren, welche in Frage kommen sind dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

Ja, die Auswahl ist hier recht begrenzt.

Zitat:

Der einzige Vektor der linear unabhängig ist, ist der Nullvektor, oder?

Der Nullvektor ist linear abhängig!

Zitat:

Jetzt weiß ich nicht so richtig wie ich die Matrix aufspannen soll?

Mal ein Beispiel. Nehmen wir die Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2^2 \to \mathbb{F}_2^2 , ~ \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und verwenden wir die von dir oben vorgeschlagene Standardbasis.
Dann wird der erste Basisvektor auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abgebildet, der zweite auf sich selbst.
Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1& 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese erhalte ich, indem ich in die erste Spalte das Bild des ersten Einheitsvektors eintrage, in die zweite das Bild des zweiten (eigentlich sind es bloß die Koordinaten der Bilder, bezüglich der Standardbasis stimmen diese aber mit sich selbst überein).

Dies ist zwar jetzt nicht unabhängig von der Wahl einer Basis, für das Abzhälproblem ist dies jedoch unerheblich. Wir können schließlich eine Basis fixieren und dann die Matrizen zählen. Die Wahl der Basis ändert ja nichts an der Anzahl der Abbildungen.

Somit kehren wir zur Fragestellung zurück. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die erste Spalte zu füllen und wie viele Vektoren kann ich dann noch in die zweite Spalte schreiben, damit die Spalten linear unabhängig bleiben?

10.04.2011, 21:51

BigSmile

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Also in die erste Spalte kann ich dann drei Vektoren eintragen, es sollten dass noch zwei für die zweite bleiben. Aber warum ist der Nullvektor linear abhängig, ich dachte das bedeutet, dass ich skalare ungleich null finden muss um einen Vektor darzustellen und das geht ja nicht mit der von mir gewählten Basis.

10.04.2011, 21:56

jester.

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$\begin{eqnarray*} 3\cdot 2 \end{eqnarray*}$ ist schonmal richtig.

n Vektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ in einem $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ heißen linear unabhängig wenn aus $\begin{eqnarray*} 0=\sum_{k=1}^n a_i v_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_i \in K \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_i=0 ~\forall ~ 1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$
Ein einzelner Vektor heißt also linear unabhängig, wenn aus $\begin{eqnarray*} av=0 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} a\in K, ~ v\in V \end{eqnarray*}$ ).

Für den Nullvektor gilt aber $\begin{eqnarray*} a0=0 ~\forall ~ a \in K \end{eqnarray*}$ , es folgt also insbesondere nicht $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ . Somit ist der Nullvektor in jedem Vektorraum linear abhängig, insbesondere auch in unserem hier.

10.04.2011, 22:07

BigSmile

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Okay alles klar! Aber was fange ich jetzt mit der 3 und 2 an. Ich habe eine Matrix und kann in der ersten Spalte 3 Vektoren einsetzten in der zweiten 2. Wie komme ich jetzt auf die Anzahl der linearen Abbildungen. Sorry aber ich hoffe auf den ah ha effekt.

10.04.2011, 22:13

jester.

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Die Anzahl der möglichen Matrizen erhältst du als Produkt der Möglichkeiten für die erste Spalte und der Möglichkeiten der zweiten Spalte.
Vielleicht kennst du aus der Schule Baumdiagramme, damit kannst du dir das verdeutlichen.
Es gibt hier also $\begin{eqnarray*} 2\cdot 3 = 6 \end{eqnarray*}$ Abbildungen.

10.04.2011, 22:23

BigSmile

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Gut und die Anzahl der Matrizen ist aber noch nicht die Gesamtzahl der Linearen Abbildungen oder?
Ich wüsste nicht wie das mit der Formel von Elvis zusammenhängen sollte $\begin{eqnarray*} |K|^{n^2} \end{eqnarray*}$ ?

10.04.2011, 22:34

jester.

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Das, was ich geschrieben habe, beantwortet die Frage nach der Anzahl der injektiven/surjektiven/bijektiven Abbildungen.
In der Tat gibt es noch mehr Abbildungen. Auch diese werden durch Matrizen dargestellt, jeder Eintrag kann frei gewählt werden. Also gibt es $\begin{eqnarray*} |K|^{n^2} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.
Alternativ kann man auch wie von tmo vorgeschlagen die möglichen Belegungen der Spalten abzählen.

10.04.2011, 22:46

BigSmile

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Okay also habe ich für 4 Koeffizienten hoch die zwei Möglichkeiten (0 oder 1) 16 Abbildungen insgesamt?

10.04.2011, 22:51

jester.

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16 Abbildungen insgesamt stimmt, aber $\begin{eqnarray*} \text{Positionen}^\text{mögliche Einträge} \end{eqnarray*}$ ist i.A. nicht korrekt und hier nur zufällig richtig, da $\begin{eqnarray*} 4^2=2^4=16 \end{eqnarray*}$ .
Schau dir dazu alle linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3^2 \end{eqnarray*}$ in sich selbst an. Wir haben wieder $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen, können aber an jeder Position 3 Einträge auswählen. Es gibt also $\begin{eqnarray*} 81=3^4 \neq 4^3 = 64 \end{eqnarray*}$ Abbildungen.

10.04.2011, 23:07

BigSmile

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Also gut nur das ich es verstehe: Die 2x2 Matrix ist klar und da wir nun einen Körper mit 3 Elementen haben kommt dann $\begin{eqnarray*} 4^{3} \end{eqnarray*}$ mögliche lineare Abbildungen raus. Kann ich dann auch sagen, das in die erste Spalte vier und in die zweite Spalte Vektoren eintragen kann und damit dann 12 bijektive Abbildungen habe?

Vielen Dank schon mal für die ganze Hilfe!

10.04.2011, 23:09

jester.

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Nein, bijektive Abbildungen gibt es hier $\begin{eqnarray*} (3^2-1)\cdot (3^2-3)=48 \end{eqnarray*}$ . Um dies nachzuvollziehen, argumentiere wie vorhin.

10.04.2011, 23:13

BigSmile

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Okay ich gebe zu hier nicht richtig nachgedacht, sondern mehr geraten zu haben.
Ist schon spät und ich werde mir darüber Gedanken machen. Hoffe auch irgendwann mal richtig Durchblick zu haben durch die ganze Materie. Also danke nochmal und bis bald Wink

10.04.2011, 23:18

jester.

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Ok, falls du dazu irgendwann noch Lust haben solltest, kannst du dir auch direkt folgendes überlegen: Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ der Körper mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Elementen und $\begin{eqnarray*} {\rm GL}_n(\mathbb{F}_p) \end{eqnarray*}$ die Menge der invertierbaren $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ . Das ist also, im Prinzip, das selbe wie die bijektiven Abbildungen in diesem Vektorraum. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} |{\rm GL}_n(\mathbb{F}_p)|=\prod_{i=0}^{n-1} (p^n - p^i) \end{eqnarray*}$

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