Kommutatorgruppen

10.04.2011, 12:19	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutatorgruppen Guten Morgen an alle, ich habe mich mal mit dieser Aufgabe beschäftigt: Es sei H eine endliche Gruppe, $\begin{eqnarray} Z\left(H\right) \end{eqnarray}$ ihr Zentrum und $\begin{eqnarray} H',H'' \end{eqnarray}$ die erste bzw. zweite Kommutatorgruppe. Zeigen Sie, dass aus $\begin{eqnarray} H' \leq Z\left(H\right) \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} H'' \end{eqnarray}$ einelementig ist. Gilt auch die Umkehrung? Meine Beweisidee: Da die Kommutatorgruppe eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ist, muss sie das neutrale Element $\begin{eqnarray} e_{H} \end{eqnarray}$ enthalten. Damit sind $\begin{eqnarray} H'' \end{eqnarray}$ einelementig und $\begin{eqnarray} H'' =\left\{e_{H}\right\} \end{eqnarray}$ äquivalent. Aus $\begin{eqnarray} H' \leq Z\left(H\right) \end{eqnarray}$ folgt, dass jedes Element aus $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ mit jedem anderen Element aus $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ kommutiert, also insbesondere mit jedem Element aus $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ . Damit folgt, dass $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ kommutative (Unter-)Gruppe ist. Da sie kommutativ ist und $\begin{eqnarray} H''= \left(H'\right)' \end{eqnarray}$ gilt, folgt wegen der Kommutativität von $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ sofort $\begin{eqnarray} H'' = \left\{e_{H} \right\} \end{eqnarray}$ , da die Kommutatorgruppen von kommutativen Gruppen nur aus dem neutralen Element bestehen. - stimmt der Beweis so, oder habe ich da irgendwas Monumentales falsch? Zu der Zusatzfrage habe ich mir folgendes gedacht: Wenn $\begin{eqnarray} H'' \end{eqnarray}$ einelementig, dann wie oben $\begin{eqnarray} H'' = \left\{e_{H}\right\} \end{eqnarray}$ . Damit muss $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ kommutativ sein, aber das heißt nur, dass alle Elemente aus $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ miteinander kommutieren, nicht jedoch, dass jedes Element aus $\begin{eqnarray} H' \end{eqnarray}$ mit einem beliebigen anderen Element aus $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ kommutiert, also im Zentrum liegt. Daher ist meiner Meinung die Rückrichtung falsch. Würde mich freuen, wenn sich jemand meine Argumentation ansieht und ggf. korrigiert! Schon mal ein Danke im Voraus, Dr. morrison
10.04.2011, 12:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Zusatzfrage wäre dann natürlich ein Gegenbeispiel interessant. Die kleinstmögliche Gruppe liefert das schon Falls ihr in der Vorlesung bereits bewiesen habt dass die Kommutatorgruppen von abelschen Gruppen trivial sind ist aber alles sonst ok.
10.04.2011, 12:50	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass Du so schnell geantwortet hast - ist prima! grüße, Dr. Morrison

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