Riemann-integrierbar aber keine Stammfunktion

10.04.2011, 13:31

ChronoTrigger

Riemann-integrierbar aber keine Stammfunktion

hallo,

ich habe die Funktion $\begin{eqnarray*} f: [-1,1] \to \mathbb R, f(x):=\begin{cases} 0 & x \leq 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ gegeben und soll zeigen, dass f auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar ist, aber keine Stammfunktion hat.

Mir ist leider noch nicht so ganz klar, wie ich das zeigen kann.

Als Definition habe ich folgendes gegeben:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt genau dann Riemann-integrierbar, wenn es eine Zahl $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit folgender Eigenschaft gibt:

Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \exists \delta >0 \end{eqnarray*}$ derart, dass für jede Zerlegung $\begin{eqnarray*} (x_j)_{j=0..n} \end{eqnarray*}$ des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ mit Feinheit kleiner als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und jedes zugehörige Zwischenpunktsystem $\begin{eqnarray*} (\xi_j)_{j=1..n} \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{j=1}^n f(\xi_j)(x_j-x_{j-1})-A| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Da ich gerade erst anfange, mich mit diesem Thema zu beschäftigen, ist mir noch nicht klar, wie ich bei dieser Aufgabe beginnen kann.

Hat jemand einen Tipp für mich?

danke schonmal im voraus.

10.04.2011, 13:55

Helferlein

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Es dürfte hilfreich sein, sich die Stammfunktionen der beiden Teilbereiche anzuschauen, sowie die Definition einer Stammfunktion.

Du wirst nämlich schon eine Funktion finden, die fast überall eine Stammfunktion ist, aber eben nur fast überall Augenzwinkern

10.04.2011, 14:07

ChronoTrigger

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danke für den tipp.

eine Stammfunktion wäre $\begin{eqnarray*} F: [-1,1] \to \mathbb R, x \to F(x):=\begin{cases} c & x \leq 0 \\ x+d & x > 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c,d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

nach der Definition einer Stammfunktion muss sie stetig auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ und differenzierbar auf $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ sein.

Stetig müsste die Funktion F sein, aber ich vermute, dass es bei der Differenzierbarkeit in $\begin{eqnarray*} x_0:=0 \end{eqnarray*}$ scheitert.

Kann ich das dann so überprüfen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^+} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0^+} \frac{x+d-c}{x} = \lim_{x \to x_0^+} (1+\frac{d-c}{x} ) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0^-} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x \to x_0^+} \frac{x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

10.04.2011, 14:55

Helferlein

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1) Stetigkeit muss schon noch nachgewiesen werden und ist im allgemeinen auch nicht gegeben.

2) Die Umformungen wären eindeutiger und leichter nachzuvollziehen, wenn Du $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ einsetzt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}= ... \end{eqnarray*}$

3) Der zweite Grenzwert stimmt nicht.

10.04.2011, 15:22

ChronoTrigger

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danke für die hilfe smile

Ich fange nochmal mit den Grenzwerten an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}= \lim_{x \to 0^+} \frac{x+d-c}{x} = 1+\lim_{x \to 0^+} \frac{d-c}{x} \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} c=d \end{eqnarray*}$ gilt, ist letzteres 0 und somit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=1 \end{eqnarray*}$

Falls aber $\begin{eqnarray*} c \neq d \end{eqnarray*}$ gilt, sehe ich momentan nicht, wie ich weiter umformen könnte.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^-} \frac{F(x)-F(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{c-c}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Im Fall $\begin{eqnarray*} c=d \end{eqnarray*}$ wären die Grenzwerte also wirklich unterschiedlich, und damit die Funktion F in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar.

Damit ich das richtig verstehe: Die Stetigkeitsuntersuchung brauche ich dann aber doch nicht durchzuführen, wenn ich zeigen kann, dass die Funktion F nicht differenzierbar ist, oder?

10.04.2011, 15:30

Helferlein

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Falls $\begin{eqnarray*} c=d \end{eqnarray*}$ gilt, ist letzteres 0 und somit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)-F(0)}{x-0}=1 \end{eqnarray*}$

Mit dieser Aussage wäre ich vorsichtig, da du im Grenzfall $\begin{eqnarray*} 1+\frac 00 \end{eqnarray*}$ hast.
Sauberer wäre die Anwendung von L'Hospital.

Zitat:

Original von ChronoTrigger

Damit ich das richtig verstehe: Die Stetigkeitsuntersuchung brauche ich dann aber doch nicht durchzuführen, wenn ich zeigen kann, dass die Funktion F nicht differenzierbar ist, oder?

Wenn Du das unabhängig von der Stetigkeit zeigen kannst ja, aber es erleichtert deine Überlegungen ungemein, wenn Du vorher die Stetigkeit als Bedingung heranziehst Augenzwinkern

10.04.2011, 15:40

tmo

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Kurze Anmerkung: Nur weil diese eine Funktion F keine Stammfunktion von f ist, heißt das ja noch lange nicht, dass es gar keine Stammfunktion gibt.

Man kann übrigens die Nicht-Existenz einer Stammfunktion ganz einfach aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen folgern.

10.04.2011, 16:39

ChronoTrigger

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Zitat:

Man kann übrigens die Nicht-Existenz einer Stammfunktion ganz einfach aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen folgern.

Einen Zwischenwertsatz für Ableitungen kenne ich, denke ich, noch nicht.
Der einzige mir bekannte Zwischenwertsatz ist dieser.

Zitat:

Kurze Anmerkung: Nur weil diese eine Funktion F keine Stammfunktion von f ist, heißt das ja noch lange nicht, dass es gar keine Stammfunktion gibt.

demzufolge macht es also keinen Sinn eine Funktion F, so wie sie oben steht, auf Stetigkeit/Differenzierbarkeit zu überprüfen?

10.04.2011, 17:25

tmo

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Der Zwischenwertsatz für Ableitungen sagt einfach nur aus, dass die Ableitung auch jeden Wert zwischen zwei Werten animmt, unabhängig davon ob die Funktion stetig diffbar war.

Das bedeutet sozusagen: Ableitungen haben nie Sprünge, die einzig denkbare Unstetigkeitstelle ist sowas wie bei $\begin{eqnarray*} \sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Da die hier gegebene Funktion einen Sprung hat, kann sie also keine Ableitung sein. Fertig.

Aber wenn du diesen Satz nicht kennst (der wird wohl nicht in jeder AnaI-Vorlesung behandelt), dann müssen wir es wohl anders angehen.

Und dann kann ich dir zum Glück sagen, dass es doch Sinn macht, diese Funktion F zu überprüfen, denn:

Ist $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} (F|_{\{x|x<0\}})' = f|_{\{x|x<0\}} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (F|_{\{x|x>0\}})' = f|_{\{x|x>0\}} = 1 \end{eqnarray*}$

Draus folgt dann aber, dass $\begin{eqnarray*} F|_{\{x|x<0\}}(x) = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F|_{\{x|x>0\}}(x) = x+d \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun soll F ja diffbar, also insbesondere stetig sein. Die einzig mögliche stetige Fortsetzung für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} c=F(0)=d \end{eqnarray*}$ .

Und danach kannst du dann zeigen, dass F dann aber in 0 nicht diffbar ist. Und dann bist du fertig.

Aber einfach so von vorneherein behaupten, dass dein F die einzig denkbare Stammfunktion wäre, geht halt nicht. Es bedarf etwas Vorarbeit.

10.04.2011, 17:57

ChronoTrigger

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danke für die gute Erklärung tmo, ich denke, dass ich das nun verstanden habe.

ein Problem besteht aber weiterhin.

Damit ist doch dann nur gezeigt, dass keine Stammfunktion existiert, aber doch noch nicht, dass die Funktion selber Riemann-integrierbar ist, oder übersehe ich da etwas?

12.04.2011, 18:12

ChronoTrigger

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also mir ist immer noch nicht klar geworden, wie ich diese Funktion auf Riemann-Integrierbarkeit überprüfen kann.

kann mir dabei noch jemand auf die Sprünge helfen?

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