Nicht-äquidistante Form

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10.04.2011, 15:57	Börn	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht-äquidistante Form Meine Frage: Hallo, ich habe eine Aufgabe bekommen, wo ich bei der Aufgabenstellung schon Probleme habe. Die Aufgabe lautet: Die Zerlegung des Intervalls zur Berechnung eines bestimmten Integrals hängt nicht von der Art der Zerlegung ab. Dies lässt sich leicht erkennen, indem man bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} \int_0^a x^2dx \end{eqnarray}$ nicht die in der Vorlesung verwendete Intervallunterstützung wählt, sondern eine nicht-äquidistante Form, so dass die n Teilpunkte eine geometrische Folge bilden mit $\begin{eqnarray} q=\sqrt[n]a \end{eqnarray}$ . Führen Sie dies durch! Was ist mit dieser nicht-äquidistanten Form gemeint, da finde ich auch nichts hilfreiches bei Onkel Google. Meine Ideen: Wirklich keine sinnvolle Idee...
10.04.2011, 16:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst halt das Intervall [0,a] nicht äquidistant zerlegen. Äquidistant bedeutet, dass man das Intervall in gleichgroße Teile teilt, also quasi das naheliegendste. Aber das ist nicht nötig (und auch nicht immer das beste). Hier sollst du deine Stützstellen so wählen: Setze $\begin{eqnarray} q := \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ und wähle dann die Stützstellen $\begin{eqnarray} t_0 = 0, t_1 = q, t_2=q^2, t_3=q^3, \dotsc , t_n=q^n=a \end{eqnarray}$ Bestimme dann damit Ober und Untersumme und zeige, dass beide gegen den (bekannten) Wert des Integrals konvergieren. Der Satz, der dahinter steckt: Sei $\begin{eqnarray} f: [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig und $\begin{eqnarray} \pi_n = \{t_0=a, \dotsc, t_n=b\} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ . Gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sup_{1\leq k \leq n} (t_{k}-t_{k-1}) = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. ist die Zerlegung von beliebiger Feinheit, so gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} U(f, \pi_n) = \int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} O(f, \pi_n) \end{eqnarray}$ D.h. es ist bei stetigen Funktionen völlig egal wie man die Zerlegung wählt, solange sie nur beliebig fein wird.
10.04.2011, 16:21	Börn	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle und erleuchtende Antwort. Werde das dann gleich Mal versuche umzusetzen, auch wenn ich nicht gerade begeistert bin, weder Unter-und Obersumme bilden zu dürfen, wo das doch völlig überflüssig ist.
10.04.2011, 16:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mir gerade auffällt: Soll es nicht eher $\begin{eqnarray} \int_1^a x^2dx \end{eqnarray}$ lauten? Weil sonst würde diese Zerlegung gar keinen Sinn machen.
10.04.2011, 16:31	Börn	Auf diesen Beitrag antworten »
Das könnte sein, da sind immer viele Fehler in den Aufgabenstellungen, sodass manche Aufgaben keinen Sinn ergeben. In der Vorlesung haben wir schon einmal die Ober- und Untersumme zur Funktion f(x)=x^2 gebildet, da dann aber zwischen x=a und x=b. Aber wenn da in der Aufgabe von 0 bis a steht, dann mach ich das auch so, da ist der dann selber Schuld... Oder ist das von Null bis a so nicht möglich? Es würde dann doch einfach a^3/3 rauskommen oder nícht?
10.04.2011, 16:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray} t_1 = q = \sqrt[n]{a} > 1 \end{eqnarray}$ gilt. D.h. zwischen 0 und 1 hat man dann gar keine Stützstelle. Also entweder ist eine andere Zerlegung gemeint, oder halt das Integral von 1 bis a.
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10.04.2011, 16:45	Börn	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann werde ich das wohl oder übel von 1 bis a machen müssen....
11.04.2011, 19:04	Börn	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, habe mich da gestern noch einmal drangesetzt, aber verstehe trotzdem nicht, wie ich da die Unter-uznd Obersumme bilden soll. HAb in meiner Mitschrift nur so eine wirsche Darstelungd er Ober- und Untersumme gefunden udn weiß nicht, wie ich das jetzt auf das Beispiel anwenden soll... $\begin{eqnarray} U=\frac{a}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(x_k)=\frac{a}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} (k\frac {a}{n})^2=\frac{a^3}{n^3}\sum\limits_{k=0}^{n-1}(k^2) \end{eqnarray}$ Aus der Formelsammlung dann aufdröseln der Summe: $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=1}^{n-1} k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} U=\frac{a^3}{6n^2}(n-1)(2n-1) \end{eqnarray}$ Nach dem gleichen Schema dann die Obersumme: $\begin{eqnarray} O=\frac{a^3}{6n^2}(n+1)(2n+1) \end{eqnarray}$ Über das Einschließungskriterium kamen wird dann zu dem Ergebnis, dass die Fläche $\begin{eqnarray} F=\frac{a^3}{3} \end{eqnarray}$ beträgt Wo an de STelle muss ich denn mit der geometrischen Folge arbeiten? Das ist ja die Unterteilung der Stücke, entspricht das dann oben dem a/n ?
11.04.2011, 20:33	Börn	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner der mehr bei diesem Wirrwarr aushelfen kann?

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