Formulierung von Sätzen. |
| 10.04.2011, 16:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Formulierung von Sätzen. über die Zeit sind mir immer wieder Sätze/Lemmata begegnet, die nur in eine Richtung formuliert waren, auch wenn die andere Richtung gültig ist. Meist ist zweitere Richtung dann trivial. Das ist für mich nun aber kein Grund, die Aussage nicht mit zu formulieren. Welche Motivation steckt dahinter? Für mich bedeutet die einseitige Formulierung unterbewußt: Obacht, es kommt auf die Richtung an! An Meinungen sehr interessiert. 
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| 10.04.2011, 18:22 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Formulierung von Sätzen. Ist mir bisher noch nicht so aufgefallen... 
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| 10.04.2011, 20:24 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei begnügt man sich mit der hinreichenden Bedingung, vielleicht deshalb, weil die eventuelle Umkehrung nicht gebraucht wird. Satz des Thales meist nur in eine Richtung. Satz des Pythagoras ebenso... f'(x0)=0 und f''(x0)<>0 x0 Extemstelle-dito Wenn es regnet ist die Strasse nass, reicht dem Rennfahrer 
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| 10.04.2011, 20:27 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja auch keine Äquivalenzaussage
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| 10.04.2011, 20:48 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 10.04.2011, 20:48 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In diesen Beispielen gilt ja die Umkehrung auch gar nicht... Wenn x0 eine Extremstelle ist, muss z.B. ja nicht f''(x0)<>0 gelten, wenn die Stasse nass ist, könnte auch der Spritzwagen gefahren sein...
Ansonsten würde ich auch, wenn eine "genau dann" Beziehung gilt, aber eine Richtung uninteressant oder trivial ist, diese dann weglassen... Ein typisches Beispiel von dieser Art, das mir gerade einfällt, wäre die Beziehung in einem nullteilerfreien Ring , wo die Angabe der Umkehrrichtung, welche trivialerweise natürlich auch gilt, nur vom Wesentlichen ablenken würde... @tigerbine Die Mehrzahl von Lemma ist übrigens Lemmata, nur für den Fall, dass es mehr als ein bloßer Tippfehler war...
Edit: Oje, in Bezug auf den Kommentar zu Dopap's Aussagen wieder mal viel zu spät... 
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| 10.04.2011, 20:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mmh... "Ablenkung vom Wesentlichen" ... In Beweisen: ja, wenn man nur die eine Richtung braucht. Wenn man jedoch ein Resultat in einem Satz festhält und neben => auch die Aussage <= beurteilen kann, dann finde ich das schade, wenn man dies nicht tut. Sei es mit <=> oder eben "die Umkehrung gilt i.A. nicht, da ....." |
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| 10.04.2011, 21:08 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Möglicherweise macht man das auch aus didaktischen Gründen. Beispielsweise gab es in meiner Vorlesung zur elementaren Zahlentheorie den Satz von Wilson (), von dem eine Richtung auf einem der ersten Übungsblätter war, während die andere erst Wochen später in der Vorlesung präsentiert wurde, weil man für den dort durchgeführten Beweis irgendein Hilfsmittel brauchte. Zum Zeitpunkt des frühen Übungsblattes wurde dann auch nur die eine Richtung behauptet. Edit: Die "schwere" Richtung war , das zum Beweis hinzugezogene Resultat war der Satz von Euler-Fermat. |
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| 10.04.2011, 21:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Fall war bei mir so: In der Vorlesung nur =>. Für Beweis in der Übung brauchte man <=>. Da es in dieser Vorlesung sehr wichtig war, äquivalente Sachverhalte zu kennen, war ich dann 
, dass ich mir den Kopf zerbrochen habe [warum sollte <= denn nicht gehen...] und der Assistent meine: <= ist trivial.Denn ich halte trivial für gefährlich. Wie oft waren doch die Dinge, die so schnell einleuchtend waren, dann falsch.
Im Rahmen deiner Übung verstehe ich das, wenn später Kommt: in Aufgabe xy gilt auch die Umkehrung. Aber wenn ich ein Fachbuch schreibe, was ja auch als Nachschlagewerk funktioniert, dann verstehe ich es nicht. Dann schreibt man halt im Beweis: "<=" trivial und gut ist. |
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| 10.04.2011, 21:26 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, obiges von mir gebrachte Beispiel war jetzt kein Satz oder ein Beweis, sondern eigentlich eine Definition, nämlich die der Nullteilerfreiheit in einem Ring... Und da gilt: Je weniger man bei der Überprüfung der definierenden Bedingung dann wirklich zeigen muss, desto besser... Ich würde mir aber nicht getrauen, jetzt für Beweise und Sätze eine generelle Empfehlung vorzugeben... Was ich oben nur sagen wollte ist, dass es für mich im Einzelfall vorstellbar ist, dass man eine Richtung absichtlich wegläßt, obwohl sie gilt... |
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| 10.04.2011, 21:28 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dem stimme ich zu.
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| 10.04.2011, 21:47 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Blick für <= ist nicht ausreichend geschärft, oder hat keine Lobby... Wenn meine Schüler Äquivalenzumformungen durchführen, wird meist nur => verwendet, da man ja ein Ziel erreichen will. Dann wird quadriert und richtigerweise => verwendet. Da alles Vorige eigentlich <=> war, wird Dasselbe bis zur letzten Zeile implizit angenommen, und schon ist der Fehler drin. Noch besser: Wenn die Wurzel gezogen wird und ich verlange dann <= statt dem => sind die Augen gross! Ich achte schon seit langer Zeit auf den richtigen Gebrauch der Zeichen, obwohl ich annehmen muss, dass meine Schüler später keine ( mathematischen ) Sätze mehr lesen werden. |
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| 10.04.2011, 21:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur grob: Es geht nicht darum, wie eine Regel/ein Satz an anderer Stelle verwendet wird. Vielleicht interessiert ja auch nur =>. Es geht um die Stelle, an der man die Regel in Form eines Satzes festhält. Und da sollte man imho die andere Richtung <= nicht vorenthalten, wenn sie beweisbar ist. Und es ist auch ein Unterschied, ob ein Schüler so was schreibt oder ein Professor.
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| 10.04.2011, 22:09 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So kann man das sehen. Ich würde aber z.B. eher sagen, das man triviale Umkehrungen (wie alle Trivialfälle) besser weglässt. Aber das ist Geschmackssache. |
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| 11.04.2011, 13:58 | sergej88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man die Vorlesung an der Tafel hält hat man vielleicht nicht unbedingt Zeit sich mit allen Trivialitäten auseinanderzusetzen. Ausserdem soll der Student doch mitdenken und später auch was zu tun haben... Wenn die Rückrichtung eh trivial ist, ist sie es ja auch in manchen Augen nicht wert erwähnt zu werden. So habe ich zumindest gelegentlich die Erfahrung gemacht. |
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| 11.04.2011, 15:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Einzeiler ist also Zeitverschwendung?
In einer Vorlesung, wenn der Prof es quasi kurz kommentiert... "Die Entscheidende Richtung ist, Rückrichtung ist trivial, können Sie selber machen... Dann weiß man ja, dass die Rückrichtung gilt.Was soll denn der Schluss sein, wenn man nun einen Satz in einem Buch liest, der nur in ein Richtung dort steht. Über die Rückrichtung läßt sich der Autor nicht aus. War die dann trivial? Hatte er nur keine Zeit/Lust ein Gegenbeispiel zu finden...
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