Extremwertaufgabe Rechteck in Ellipse

10.04.2011, 17:29

Liisilein

Extremwertaufgabe Rechteck in Ellipse

Meine Frage:
Hallo! Ich schreib einfach mal die Aufgabestellung auf: Einem achsensymmetrischen Rechteck ABCD mit A=(4/2) soll diejenige Ellipse, die bei der Rotation um die y-Achse das volumskleinste Ellipsoid erzeugt, umschrieben werden.

Meine Ideen:
Also ich denke als erstes braucht man mal die allgemeine Formel für die Ellipse: $\begin{eqnarray*} ell: b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$ Das forme ich dann auf x² um sodass $\begin{eqnarray*} x^2=(a^2 b^2-a^2 y^2)/b^2 \end{eqnarray*}$ herauskommt, damit ich es in die Volumsintegration $\begin{eqnarray*} V = 2*\pi *\int_0^b \! x^2 \, dy \end{eqnarray*}$ einfügen kann.
Das Ganze sieht dann so aus: $\begin{eqnarray*} V = 2*\pi *\int_0^b \! (a^2 b^2-a^2 y^2)/b^2 \, dy \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das dann integriere und b und 0 als Grenzen einsetze kommt als Endergebnis $\begin{eqnarray*} V=(4 \pi a² b)/3 \end{eqnarray*}$ heraus.
Das ist dann meiner Meinung nach die Hauptbedingung.

Als Nebenbedingung nehme ich den Punkt A des Rechtecks, der glaub ich auch ein Element der Ellipse ist. Also setze ich x und y Werte des Punktes in die allgemeine Ellipsenformel ein und forme auf a² um, sodass $\begin{eqnarray*} a²=-4b² \end{eqnarray*}$ herauskommt.

Dann setzte ich die NB in die HB ein: $\begin{eqnarray*} V(b)= (4 \pi (-4b²) b)/3 = -(16 \pi b^3)/3 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich dann die Volumsformel vereinfache, indem ich die Konstanten weglasse kommte $\begin{eqnarray*} V(b)= b^3 \end{eqnarray*}$ heraus. Die Ableitung wäre dann folglich $\begin{eqnarray*} V'(b) = 3b² \end{eqnarray*}$ . Und wenn ich das dann nullsetzte, kommt b=0 heraus, was nicht stimmen kann, da man sonst keine Ellipse hätte?
Weiter bin ich nicht gekommen, da ich so nicht weiterkommen.
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!

11.04.2011, 09:55

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Rechteck in Ellipse

Zitat:

Original von Liisilein
Als Nebenbedingung nehme ich den Punkt A des Rechtecks, der glaub ich auch ein Element der Ellipse ist. Also setze ich x und y Werte des Punktes in die allgemeine Ellipsenformel ein und forme auf a² um, sodass $\begin{eqnarray*} a²=-4b² \end{eqnarray*}$ herauskommt.

Daß diese Formel falsch ist, ist sofort klar, da sie nur von a=b=0 erfüllt werden kann. smile

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