Komplexprodukt [ÜAB]

10.04.2011, 18:10

tigerbine

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Komplexprodukt [ÜAB]

Ich habe es zwar schon verwendet, aber Übung kann nicht schaden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U, V \end{eqnarray*}$ seien Untergruppen von G und $\begin{eqnarray*} UV:=\{uv~|~u\in U, v\in V \} \end{eqnarray*}$ das Komplexprodukt. z.Z.:

(i) $\begin{eqnarray*} UV \leq G \Leftrightarrow UV=VU \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} UV \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} UV \end{eqnarray*}$ unter anderem bzgl. Inversion abgeschlossen. D.h. für $\begin{eqnarray*} uv \in UV \end{eqnarray*}$ gilt auch

$\begin{eqnarray*} UV \ni (uv)^{-1} = v^{-1}u^{-1} \in VU \end{eqnarray*}$ ,

wegen $\begin{eqnarray*} v^{-1} \in V, u^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ . Weil die Inversionsensabbildung

$\begin{eqnarray*} UV \to UV,~uv \mapsto (uv)^{-1} \end{eqnarray*}$

bijektiv ist, folgt die Behauptung.

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$

Es gelte $\begin{eqnarray*} UV=VU \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ Untergruppen sind, folgt:

$\begin{eqnarray*} (UV)(UV)^{-1} = UVV^{-1}U^{-1} \subseteq UVU^{-1} = VUU^{-1} \subseteq VU = UV \end{eqnarray*}$

Damit ist ein Untergruppenkriterium erfüllt.

Zitat:

(ii) Wenn U ein Normalteiler ist, so gilt $\begin{eqnarray*} \langle U \cup V\rangle =UV=VU \end{eqnarray*}$

Die Inklusion $\begin{eqnarray*} \langle U \cup V\rangle \supseteq UV \end{eqnarray*}$ folgt aus den Definitionen. Sei nun $\begin{eqnarray*} w \in \langle U \cup V\rangle \end{eqnarray*}$ , so gilt

$\begin{eqnarray*} w=(u_1v_1)(u_2v_2)...(u_nv_n) =u_1(v_1u_2)v_2...u_nv_n \end{eqnarray*}$

für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Da U ein Normalteiler ist exisitert ein $\begin{eqnarray*} \tilde u_2 \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_1u_2=\tilde u_2v_1 \end{eqnarray*}$ (*) und man erhält

$\begin{eqnarray*} w=(u_1\tilde u_2)(v_1v_2)...u_nv_n \end{eqnarray*}$

Wiederholte Anwendung von (*) liefert dann $\begin{eqnarray*} w \in UV \end{eqnarray*}$ und somit folgt die Behauptung.

Zitat:

(iii) Sind U und V endlich, so gilt $\begin{eqnarray*} |UV|=|U| \cdot |V| \cdot |U \cap V|^{-1} \end{eqnarray*}$

Also das im Falle eines nichttrivialen Schnitts es zu "Mehrfachzählungen" kommt, sehe ich ein. Die Gestalt des "Korrekturterms" $\begin{eqnarray*} |U \cap V|^{-1} \end{eqnarray*}$ entzieht sich mir im Moment.

10.04.2011, 20:27

zweiundvierzig

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RE: Komplexprodukt [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

(iii) Sind U und V endlich, so gilt $\begin{eqnarray*} |UV|=|U| \cdot |V| \cdot |U \cap V|^{-1} \end{eqnarray*}$

Also das im Falle eines nichttrivialen Schnitts es zu "Mehrfachzählungen" kommt, sehe ich ein. Die Gestalt des "Korrekturterms" $\begin{eqnarray*} |U \cap V|^{-1} \end{eqnarray*}$ entzieht sich mir im Moment.

Stichwort: geeigneter Isomorphiesatz. Wink

Wink

10.04.2011, 20:34

tigerbine

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RE: Komplexprodukt [ÜAB]
Was ist mit (i), (ii)?

Kannst du mir den Isosatz mal verlinken. Ich sehe bei "meinen", dass mind. eine Untergruppe auch Normalteiler sein müßte....

10.04.2011, 21:05

zweiundvierzig

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Mit Deinem Einwand bezüglich der Normalteilereigenschaft hast Du natürlich recht.

Zum Beweis schreiben wir zunächst $\begin{eqnarray*} UV = \bigcup_{u \in U} uV \end{eqnarray*}$ . Nun geht es darum, die Anzahl der Nebenklassen $\begin{eqnarray*} uV \end{eqnarray*}$ zu zählen. Überlege Dir dazu, was $\begin{eqnarray*} uV = u'V \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u,u' \in U \end{eqnarray*}$ bedeutet.

10.04.2011, 21:19

tigerbine

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Überlege Dir dazu, was $\begin{eqnarray*} uV = u'V \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} u,u' \in U \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Die Nebenklassen sind gleich <=> $\begin{eqnarray*} u^{-1}u' \in V \end{eqnarray*}$ . Und somit $\begin{eqnarray*} u^{-1}u' \in (V \cap U) \end{eqnarray*}$

11.04.2011, 17:44

tigerbine

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Also irgendwie hänge ich gerade an der Kombinatorik. Warum teilt man durch t $\begin{eqnarray*} |U \cap V| \end{eqnarray*}$

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11.04.2011, 20:52

zweiundvierzig

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Hallo tigerbine,

Deine Feststellung ist richtig. Es gilt also $\begin{eqnarray*} |UV| = |V| \cdot \text{Anz. Nebenklassen $uV$ in $U$} = |V| \cdot [U : U \cap V] \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst Du einen bestimmten Satz anwenden.

11.04.2011, 20:52

Mystic

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Naja, einserseits gilt

$\begin{eqnarray*} w \in U \cap V \Rightarrow UV=(Uw)(w^{-1}V) \end{eqnarray*}$

Andererseits kommen alle "Mehrdeutigkeiten" so zustande...

Edit: Man kann das Ganze "down to earth" zeigen (gemäß meinem Vorschlag), man kann aber auch wieder mehr oder weniger schwere Geschütze in Anschlag bringen (not my cup of tea, as you might know by now! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

11.04.2011, 21:04

tigerbine

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Hallo tigerbine,

Deine Feststellung ist richtig. Es gilt also $\begin{eqnarray*} |UV| = |V| \cdot \text{Anz. Nebenklassen $uV$ in $U$} = |V| \cdot [U : U \cap V] \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst Du einen bestimmten Satz anwenden.

Also $\begin{eqnarray*} W:=U \cap V \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von U und auch V. Dabei gilt für den Index $\begin{eqnarray*} [U:W] \cdot |W| = |U| \end{eqnarray*}$ (Satz von Lagrange)

Dann hänge ich aber bei:

$\begin{eqnarray*} \text{Anz. Nebenklassen $uV$ in $U$} = [U : U \cap V] \end{eqnarray*}$ .

@Mystic:
Ich setze mal Teewasser auf und mache dann deine Variante.

11.04.2011, 21:15

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
@Mystic:
Ich setze mal Teewasser auf und mache dann deine Variante.

Bis du wieder zurück bist, mein Vorschlag noch etwas konkreter:

Wieviele Elemente liegen in UV? Die erste Idee wäre vielleicht |U||V| aber nach einer kurzen Nachdenkpause wird sie verworfen, denn wir haben ja wie gesagt

$\begin{eqnarray*} w \in U \cap V \Rightarrow (uw)(w^{-1}v)=uv \quad (u \in U, \ v \in V) \end{eqnarray*}$

Offenbar wird also jedes $\begin{eqnarray*} uv \in UV \end{eqnarray*}$ mindestens so oft gezählt als es Elemente $\begin{eqnarray*} w \in U \cap V \end{eqnarray*}$ gibt... Wenn man aber zeigen könnte, dass alle Mehrdeutigkeiten schon von dieser Art sind, ja dann... Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2011, 23:46

tigerbine

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So, die Kanne ist leer... Das mindestens habe ich verstanden... das höchstens.....

$\begin{eqnarray*} u_1v_1=u_2v_2 \Leftrightarrow u_1 =u_2v_2v_1^{-1} \Leftrightarrow u_1 \in u_2V \end{eqnarray*}$

Ich komme nicht drauf... unglücklich

unglücklich

12.04.2011, 00:22

Mystic

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Die Anwort zu meiner obigen Frage ist: Ja, alle Mehrdeutigkeiten sind genau von der beschriebenen Art, denn

$\begin{eqnarray*} u_1v_1=u_2v_2 \Rightarrow w:=u_1^{-1}u_2=v_1v_2^{-1} \in U \cap V \end{eqnarray*}$

Daraus folgt aber tatsächlich

$\begin{eqnarray*} (u_1w)(w^{-1}v_1)=(u_1 \underbrace{(u_1^{-1}u_2)}_w)(\underbrace{(v_2v_1^{-1})}_{w^{-1}}v_1)=u_2v_2 \end{eqnarray*}$

Wirklich so schwer? Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2011, 00:33

tigerbine

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Wenn man es liest, nicht mehr so schwer... Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2011, 00:44

Mystic

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Ich muss zugeben, ich liebe diesen Beweis, eben deshalb, weil er tricky, aber doch ganz elementar ist... Aber schau dir auch noch den "üblichen" Beweis mit dem 1. Isomorphiesatz für Gruppen an... Kann ja durchaus sein, dass er dir besser gefällt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gute Nacht... Wink

Wink

12.04.2011, 00:49

tigerbine

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Gute Nacht. Wink

Wink

Zitat:

. Aber schau dir auch noch den "üblichen" Beweis mit dem 1. Isomorphiesatz für Gruppen

Müßte da dann nicht eine der Untergruppen Normalteiler sein?

siehe oben.

Oder sollte die Reihenfolge (i), (ii), (iii) bedeuten, dass wir bei (iii) auch annehmen, dass U Normalteiler ist?

12.04.2011, 09:22

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Müßte da dann nicht eine der Untergruppen Normalteiler sein?

Ja, sorry, das funktioniert nur unter dieser Voraussetzung... unglücklich

unglücklich

Edit: Übrigens habe ich jetzt im Kurzweil/Stellmacher (Sete 7) nachgesehen, und da steht auch im Wesentlichen mein Beweis, also scheint dieser, ohne dass mir dies bewußt war, eh Standard zu sein...

12.04.2011, 15:38

tigerbine

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Ok, dann haben wir das hier ja geschafft. Danke an euch.

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