Bedingte Wahrscheinlichkeit

10.04.2011, 20:08

test12345

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Halloo,
mir raucht grad der Kopf für so eine einfache Sache wie die bedingte Wahrscheinlichkeit..hab mich da jetzt so lange reingelesen, dass ich verwirrt bin..

Also sagen wir mal wir haben folgende Aufgabe:
Es soll die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln ausgerechnet werden für das Ereignis A, dass B bereits eingetreten ist.
A={6}
B={2,4,6}

also
P(A)=1/6
P(B)=3/6

Formel: $\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{B} \end{eqnarray*}$

Intuitiv würde ich jetzt sagen $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=1/6 \end{eqnarray*}$
Doch ich will das ja rechnerisch machen..

Die Ereignisse sind doch stochastisch abhängig oder? Oder hängt dies auch noch damit zusammen, ob ich sage, dass die Ereignisse hintereinander eintreten (mehrmals Würfeln) oder zugleich (einmal Würfeln)?

Jedenfalls wenn sie stochastisch abhängig sind, dann ist:
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B|A) oder P(B)*P(A|B) \end{eqnarray*}$

Und da ist das nächste Problem..wie zur Hölle, soll ich z.B. P(B)*P(A|B) berechnen?? Ich meine, dass ist doch voll der der Kreislauf: Am Anfang will ich P(A|B) berechnen und jetzt soll man dieses benutzen, um überhaupt einmal $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ berechnen zu können!

Und auch, wenn beide Ereignisse stochastisch unabhängig wären, würde
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$ niemals hinhauen...

HILFFEEEEEE, wo häng ich mit meinen Gedanken??
Gerade dieses Vorletzte, dass man praktisch die Definition P(A|B) mit sich selber erklären soll, macht mich verrückt..

Grüße
ein ziemlich Verwirrter traurig

10.04.2011, 20:27

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von test12345
Also sagen wir mal wir haben folgende Aufgabe:
Es soll die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln ausgerechnet werden für das Ereignis A, dass B bereits eingetreten ist.
A={6}
B={2,4,6}

also
P(A)=1/6
P(B)=3/6

Formel: $\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{B} \end{eqnarray*}$

Im Nenner steht
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von test12345
Intuitiv würde ich jetzt sagen $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=1/6 \end{eqnarray*}$
Doch ich will das ja rechnerisch machen..

Das kannst du auch rechnerisch lösen ohne dabei die Unabhängigkeit zu bestimmen, wie sieht denn $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ konkret aus?

Wenn du das bestimmt hast dann kannst du über die obige Formel auch direkt $\begin{eqnarray*} P(A\mid B) \end{eqnarray*}$ bestimmen

Ob die beiden Zufallsvariablen dabei unabhängig sind oder nicht ist hierbei uninteressant, es wurde auch nicht explizit danach gefragt

Zitat:

Original von test12345
Jedenfalls wenn sie stochastisch abhängig sind, dann ist:
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B|A) oder P(B)*P(A|B) \end{eqnarray*}$

Die Definition der stochastischen Unabhängigkeit lautet
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$

10.04.2011, 20:44

test12345

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Ja, sry für die Tippfehler, meinte es natürlich richtig..

Es wäre $\begin{eqnarray*} A\cap B = \left\{ 6\right\} \end{eqnarray*}$ ..also wie schon gesagt $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=1/6 \end{eqnarray*}$
Meinst du mit dem "direkt bestimmen", das ich das jetzt einfach einsetzen soll?
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{1/6}{3/6}=\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das ist ja einfach..Aber warum sagst du, es sei irrelevant, ob meine Ereignisse nun unabhängig oder abhängig seien? Wenn ich es nur mal rein rein mathematisch rechnen will, so muss ich doch nach einem dieser Dinge richten. Und da fängt ja mein Problem erst an, dass die Formeln dann auf beide Weisen nicht hinhauen.

Grüße

10.04.2011, 20:56

Math1986

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Zitat:

Original von test12345
Es wäre $\begin{eqnarray*} A\cap B = \left\{ 6\right\} \end{eqnarray*}$ ..also wie schon gesagt $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=1/6 \end{eqnarray*}$
Meinst du mit dem "direkt bestimmen", das ich das jetzt einfach einsetzen soll?
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{1/6}{3/6}=\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Ja, das ist richtig Freude

Zitat:

Original von test12345
Aber warum sagst du, es sei irrelevant, ob meine Ereignisse nun unabhängig oder abhängig seien?

Gegeben ist doch die Definition
$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$
Es spielt hierbei überhaupt keine Rolle ob A und B unabhängig sind oder nicht, die Definition ist doch in beiden Fällen die selbe

Zitat:

Original von test12345
Wenn ich es nur mal rein rein mathematisch rechnen will, so muss ich doch nach einem dieser Dinge richten. Und da fängt ja mein Problem erst an, dass die Formeln dann auf beide Weisen nicht hinhauen.

Diese Frage verstehe ich nicht unglücklich

10.04.2011, 21:18

test12345

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hehe, natürlich ist die Definition in beiden Fällen das selbe.
Mir geht es aber darum, auf welchem Wege man $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=1/6 \end{eqnarray*}$ berechnet.
Einmal mit..sage ich mal "Logik", so wie ich es dir geschrieben habe (gemeinsame Element ist nur "6", also P=1/6 und das dann einsetzen) und einmal mehr "mathematisch".
Damit meine ich die beiden Formeln für $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , nämlich einmal wenn A und B abhängig wären oder wenn sie voneinander unabhängig wären:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$

Also ich meine man muss $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ doch auch normalerweise mit einer dieser zwei Formeln berechnen können oder etwa nicht???

Und da hapert´s..

Hier mal ein Beispiel:
Google Books

Dort gilt ja anscheinend, dass P(A) und P(B) unabhängig sind, also folglich
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B)=\frac{3}{6} * \frac{4}{6} =\frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

10.04.2011, 22:14

Math1986

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Zitat:

Original von test12345
Damit meine ich die beiden Formeln für $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , nämlich einmal wenn A und B abhängig wären oder wenn sie voneinander unabhängig wären:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$

Also ich meine man muss $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ doch auch normalerweise mit einer dieser zwei Formeln berechnen können oder etwa nicht???

Die Formel
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B\mid A) = P(B)*P(A\mid B) \end{eqnarray*}$
ist genau die Definition enstsprechend umgestellt.
$\begin{eqnarray*} P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Die Formel
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$
Kannst du nur dann verwenden wenn du weisst, dass beide Ereignisse unabhängig sind.
Das sind sie hier aber nicht, wie du leicht nachrechnen kannst.

Zitat:

Original von test12345
Hier mal ein Beispiel:
Google Books

Dort gilt ja anscheinend, dass P(A) und P(B) unabhängig sind, also folglich
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B)=\frac{3}{6} * \frac{4}{6} =\frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

Der hat das genauso berechnet wie du oben

10.04.2011, 22:44

test12345

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Ahhhhh..stimmt ja :p

Zitat:

Original von Math1986

Die Formel
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$
Kannst du nur dann verwenden wenn du weisst, dass beide Ereignisse unabhängig sind.
Das sind sie hier aber nicht, wie du leicht nachrechnen kannst.

Ja das stimmt, denn 1/6 !=0,083333..

Es gibt ja äquivalente 3 Sätze um zu beweisen, dass zwei Ereignisse unabhängig sind...
$\begin{eqnarray*} 1. P(A/B)=P(A/\frac{}{B}) bzw. P(B/A)=P(B/\frac{}{A}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. P(A/B)=P(A) bzw. P(B/A)=P(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3. P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$

Dazu hätte ich noch ne Frage:
Man braucht dann ja immer einen vorgegeben Wert (oder man muss ihn irgendwie herleiten können) wie z.B. bei Satz 3 $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ auf einer Seite der Gleichung, um ihn mit der rechten Seite [P(A)*P(B)] vergleichen zu können und somit eine Unabhängigkeit/Abhängigkeit zu bestimmen.

Haben wir keinen vorgegeben Wert [wie z.B. bei Satz 3: $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ] oder können ihn auch nicht herleiten, fällt das Bestimmen der Un-/Abhängigkeit also flach, da wir nur eine Seite der Gleichung hätten?

Zitat:

Der hat das genauso berechnet wie du oben

Also gehts hier wohl nicht anders als wir es gemacht haben, nehm ich an Augenzwinkern

Schonmal n dickes Danke!

10.04.2011, 22:57

Math1986

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Zitat:

Original von test12345
Es gibt ja äquivalente 3 Sätze um zu beweisen, dass zwei Ereignisse unabhängig sind...
$\begin{eqnarray*} 1. P(A/B)=P(A/\frac{}{B}) bzw. P(B/A)=P(B/\frac{}{A}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. P(A/B)=P(A) bzw. P(B/A)=P(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3. P(A\cap B)=P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$

Dazu hätte ich noch ne Frage:
Man braucht dann ja immer einen vorgegeben Wert (oder man muss ihn irgendwie herleiten können) wie z.B. bei Satz 3 $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ auf einer Seite der Gleichung, um ihn mit der rechten Seite [P(A)*P(B)] vergleichen zu können und somit eine Unabhängigkeit/Abhängigkeit zu bestimmen.

Haben wir keinen vorgegeben Wert [wie z.B. bei Satz 3: $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ] oder können ihn auch nicht herleiten, fällt das Bestimmen der Un-/Abhängigkeit also flach, da wir nur eine Seite der Gleichung hätten?

Ja, du brauchst natürlich die entsprechenden Werte, die du in die Formel einsetzen musst.
Oder es steht schlicht und einfach in der Aufgabenstellung, dass die Ereignisse unabhängig sind, dann darfst du das natürlich auch verwenden, solange es aber nicht explizit da steht musst du das erst zeigen bzw widerlegen

10.04.2011, 23:34

test12345

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Ok danke dir!! smile

Werde jedenfalls nochmal nen paar Übungsaufgaben rechnen...

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