Formel für Spatprodukt beweisen

10.04.2011, 20:41

scream

Formel für Spatprodukt beweisen

Meine Frage:
Also meine >Frage Lautet:
wie kann ich beweisenn das wenn vec{a}, vec{b} und vec{c} linear unabhängig sind (\vec{a}\times \vec{b})*\vec{c} \neq 0 ist ?

Meine Ideen:
ich habe keine lösungsansätze unglücklich

Bitte bei Titeln darauf achten, sie möglichst kurz zu fassen. In der Titelzeile funktioniert auch kein latex.
"Beweise (vec{a}times vec{b})*vec{c} neq 0 wenn die vektoren linear unabhöngig sind" ist viel zu lang --> geändert.
Gruß, Gualtiero

10.04.2011, 21:29

Bjoern1982

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Mal in Latexklammern gesetzt ist also folgendes zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} (\vec{a}\times \vec{b})*\vec{c} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Den Ausruck auf der linken Seite bezeichnet man auch als Spatprodukt, ist dir klar was man unter einem Spat versteht ?
Falls ja kann man das Ganze evtl sogar in einem Satz bereits ausreichend begründen.
Falls nein dann versuche z.B. einen Beweis durch Widerspruch:
Angenommen $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\times \vec{b})*\vec{c} = 0 \end{eqnarray*}$ , dann...

10.04.2011, 23:41

scream

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Ja das wusste ich nicht das ist gerade mein erster beitrag gewesen, aber ist toll das du es trotzdem verstanden hast, ja mir ist klar das es das pat produkt ist und es macht ja auch sinn das das Spatprodukt nicht Null sein kann, weil dies ja bedeuten würde das der $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ ortogonal wären, was aber bedeuten würde das es kein Spat mehr wäre...

was ist also dein vorschlag für diesen erklärungssatz ?

10.04.2011, 23:50

Bjoern1982

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Ja, oder mit anderen Worten liegen 3 linear unabhängige Vektoren doch nicht mehr in einer Ebene und spannen somit in jedem Fall einen Spat (Pararallelflach) auf, welches ja dann irgendein Volumen ungleich null haben muss.
Ist halt die Frage ob eine solche verbale Begründung hier erwünscht ist.

Bei einem indirekten Beweis könnte man eben noch ergänzen:

Zitat:

Angenommen $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\times \vec{b})*\vec{c} = 0 \end{eqnarray*}$ , dann...

...lägen $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{b} \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ orthogonal zueinander (wie du sagtest) und dann müsste ja sowas wie $\begin{eqnarray*} \vec{c}=r \cdot \vec{a}+s \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ gelten.
Und was würde das für die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ bedeuten ?

10.04.2011, 23:56

scream

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das würde bedeuten das sie linear abhängig voneinander sind, also komplanar wenn man neben einem trivialen Ergebnis auch ein nciht triviales Ergebnis für r und s herausbekommt.

Jedoch ist hier keine verbale Beweisfürung gewünscht... obwohl man es so wie du es geschildert hast beweisen kann, etwass änliches hatte ich mir auch gedacht, nur habe ich diese "was wenn"-Konstruktion von dir in eine Skizze gepackt. Es entsteht dabei eben eine Zweidimensionale Figur ohne Volumen oder V=0

11.04.2011, 00:01

Bjoern1982

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Zitat:

das würde bedeuten das sie linear abhängig voneinander sind, also komplanar wenn man neben einem trivialen Ergebnis auch ein nciht triviales Ergebnis für r und s herausbekommt.

Richtig und das ist ein Widerspruch zur geforderten linearen Unabhängigkeit der 3 Vektoren, weshalb unsere Annahme $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\times \vec{b})*\vec{c} = 0 \end{eqnarray*}$ falsch sein muss und damit $\begin{eqnarray*} (\vec{a}\times \vec{b})*\vec{c} \neq 0 \end{eqnarray*}$ folgen muss, was zu zeigen war.

11.04.2011, 00:09

scream

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okee danke du hast mir echt geholfen Big Laugh

11.04.2011, 00:11

Bjoern1982

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Gerne

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