Gruppenordnungen [ÜAB]

11.04.2011, 00:35

tigerbine

Gruppenordnungen [ÜAB]

Zitat:

Es gibt keine einfache Gruppe G der Ordnung 105.

Es ist 105=3*5*7. Für die Anzahl der 3-Sylowgruppen gilt $\begin{eqnarray*} s_3 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_3 ~|~35 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} s_3=1 \end{eqnarray*}$ und die 3-Sylowgruppe ist normal in G. G ist also nicht einfach.

Zitat:

Jede Gruppe der Ordnung 1001 ist zyklisch.

Es ist 1001=7*11*13. Mit den Sätzen von Sylow folgt $\begin{eqnarray*} s_7=s_{11} =s_{13}=1 \end{eqnarray*}$ . Die Sylowgruppen sind also alle normal in G, und G daher ihr direktes Produkt. Wegen ihrer teilerfremden Primzahlordnung folgt:

$\begin{eqnarray*} G = Syl_7 \times Syl_{11} \times Syl_{13} \cong C_7 \times C_{11} \times C_{13} \cong C_{1001} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Es gibt genau 2 Isomorphietypen von Gruppen der Ordnung 2009.

Es ist 2009=7²*41. Mit den Sätzen von Sylow folgt $\begin{eqnarray*} s_7=s_{41} =1 \end{eqnarray*}$ . Somit ist auch hier G das direkte Produkt der Sylowgruppen.

$\begin{eqnarray*} G=Syl_7 \times Syl_{41} \end{eqnarray*}$

Dabei besitzt die 7-Sylowgruppe als "p²-Gruppe" genau 2 Isomorhietypen und die 41-Sylowgruppe ist zyklisch. Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} G\cong C_{49} \times C_{41} \cong C_{2009} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G \cong C_7 \times C_7 \times C_{41} \end{eqnarray*}$

11.04.2011, 15:03

Mystic

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RE: Gruppenordnungen [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Es ist 105=3*5*7. Für die Anzahl der 3-Sylowgruppen gilt $\begin{eqnarray*} s_3 \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_3 ~|~35 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} s_3=1 \end{eqnarray*}$ und die 3-Sylowgruppe ist normal in G. G ist also nicht einfach.

Ich steig bereits hier aus... Wieso folgt daraus $\begin{eqnarray*} s_3=1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

11.04.2011, 16:07

tigerbine

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Mist, ich habe die 7 vergessen. Dann hätte ich zu bieten (nach Sylow):

$\begin{eqnarray*} s_3 \in\{1,7 \},~s_5 \in \{1,21\}, s_7 \in \{1,15\} \end{eqnarray*}$

Die p-Sylowgruppen sind hier alle von primer Ordnung => zyklisch und mit trivialem Schnitt.

(1) Es gibt 21 5-Sylowgruppen => 5 + 20*4 = 85 Elemente => Dann kann es nur eine 7-Sylowgruppe geben => Normalteiler

(2) Es gibt 1 5-Sylowgruppe => Normalteiler

Steigst du wieder ein?

11.04.2011, 16:43

Mystic

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RE: Gruppenordnungen [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Es ist 1001=7*11*13. Mit den Sätzen von Sylow folgt $\begin{eqnarray*} s_3=s_{11} =s_{13}=1 \end{eqnarray*}$ .

Da hast dich einmal beim Index von $\begin{eqnarray*} s_3 \end{eqnarray*}$ verschrieben, sonst stimmt alles... Freude