Lineare Gleichungssysteme

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11.04.2011, 16:06	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungssysteme Meine Frage: Hey leute, folgende Gleichungen sind gegeben $\begin{eqnarray} 1: a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2: a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \left(a_{11},a_{12}\right)\neq \left(0,0\right) <br /> \left(a_{21},a_{22}\right)\neq \left(0,0\right) \end{eqnarray}$ Jetzt soll ich die Lösungsmenge des LGS in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},b_{1},b_{2} \end{eqnarray}$ angeben. Außerdem soll ich überall wo es nötig ist, Fallunterscheidungen durchführen. Meine Ideen: Ok, was wissen wir über die beiden Gleichungen? die a-Werte in jeweils einer Gleichung dürfen nicht beide den Wert 0 annehmen (wobei es für jeweils einen gestattet ist). Dann würde ich meinen gibt es 3 Fälle für die ich eine Fallunterscheidung durchführen müsste: -Für keine Lösung -eine Lösung -unendlich viele Lösungen folgende Überlegung meiner seits es gibt eine Lösung, wenn a11=0 und a12*x2=b1 (analog für Gleichung 2) haut das so hin? also kann ich so an die Aufgabe rann gehen oder gibts einen anderen Weg? gruß Mö
11.04.2011, 16:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es mit Umformungen versuchen und dabei geeignete Fallunterscheidungen durchführen. Überleg Dir mal, wie man das $\begin{eqnarray} a_{21}x_1 \end{eqnarray}$ wegbekommen würde und unter welcher Voraussetzung. Das Veränderte System hat schon eine relativ einfache Struktur, an der man das Lösungsverhalten und die Lösungen ablesen kann.
11.04.2011, 16:40	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
hm...ok also durch anwenden des Gauß-Algorithmus könnt ich $\begin{eqnarray} a_{21}x_{1} \end{eqnarray}$ wegbekommen. Aber wie kann ich jetzt gewährleisten, dass wenn ich die 1.Gleichung auf die 2. Addiere, $\begin{eqnarray} a_{11}x_{1} \end{eqnarray}$ den negativen Wert von $\begin{eqnarray} a_{21}x_{1} \end{eqnarray}$ annimmt?Oder anders Formuliert mit was müsst ich die 1. Gleichung erweitern, da ja keine konkreten Zahlen gegeben sind.
11.04.2011, 16:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es reicht, wenn du ein Vielfaches der ersten Zeile abziehst. Dabei wirst Du allerdings schon auf die erste Bedingung stossen. Falls Dir das mit den Variablen zu abstrakt ist, rechne Dir mal folgendes Beispiel nach demselben Prinzip durch (Also nur ein Vielfaches der ersten von der zweiten abziehen, um das x weg zu kriegen): $\begin{eqnarray} 2x-3y=1<br /> 3x+2y=8 \end{eqnarray}$
11.04.2011, 17:02	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
hm... um im von dir genannten Beispiel die 3x weg zubekommen müsste ich doch das $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ der ersten von der zweiten abziehen oder wie war das jetzt gemeint?
11.04.2011, 17:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so war es gemeint. Und nun übertrag das auf den allgemeinen Fall.
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11.04.2011, 17:11	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok ^^ ich glaube jetzt geht mir grad ein licht auf im allgemeinen müsste ich dann das $\begin{eqnarray} \frac{a_{21}}{a_{11} } \end{eqnarray}$ fache der ersten von der zweiten abziehen ok wenn das soweit hinhaut würd ich jetzt einfach mal weiter versuchen die aufgabe zu lösen
11.04.2011, 17:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, wobei der Bruch in einem Fall Probleme macht.
11.04.2011, 17:30	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
ohje ^^ ich hab das jetzt mal versucht in der allgemeinen Form aufzuschreiben und dabei kam so etwas raus $\begin{eqnarray} 1. a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2. \left(\frac{a_{12}a_{21} }{a_{11} } \right)-a_{12}x_{2}=b_{2}-\frac{b_{1}a_{21} }{a_{11} } \end{eqnarray}$ kann das stimmen?
11.04.2011, 17:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz. Du hast einen Vorzeichenfehler eingebaut, sowie einen Klammerfehler und einen Indexfehler.
11.04.2011, 17:42	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja ich seh grad richtig müsste es für die 2. heißen $\begin{eqnarray} a_{22}x_{2}-\frac{a_{12}a_{21} }{a_{11} } =b_{2}-\frac{b_{1}a_{21} }{a_{11} } \end{eqnarray*}$
11.04.2011, 17:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, immer noch nicht ganz. Richtig ist $\begin{eqnarray} (a_{22}-\frac{a_{12}a_{21}}{a_{11}})x_2 =b_{2}-\frac{b_{1}\cdot a_{21} }{a_{11} } \end{eqnarray}$
11.04.2011, 17:57	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, mein nächster schritt wäre jetzt die 2. Gleichung nach x2 umzustellen. Dadurch könnte ich x2 in der ersten Gleichung einsetzten und diese wiederum nach x1 umstellen. Oder muss ich schon vorher in irgend einer art und weise eine Fallunterscheidung vornehmen?
11.04.2011, 18:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nicht um die Lösungen, sondern die Existenz und ggf. ihre Anzahl. Dies kannst Du aus der gewonnenen Gleichung ablesen und natürlich sind hierzu Fallunterscheidungen notwendig. Vergiss dabei aber nicht, dass Du noch den Sonderfall, dass die erste Umformung nicht durchführbar ist noch extra betrachten musst. Ich bin nun eine Weile weg. Also nicht wundern, falls die nächste Reaktion erst im Laufe des Abends kommt (es sein denn es möchte jemand anderes übernehmen)
11.04.2011, 18:36	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
gut alles klar aber irgendwie stell ich mich grad nen bissel blöd an zwecks Fallunterscheidung ich weiß nicht recht wie ich damit genau umzugehen habe der von dir erwähne Sonderfall, dass die erste Umformung nicht funktioniert würde ja beispielsweise für die Werte $\begin{eqnarray} a_{11}=0, a_{21}=0,a_{12}\neq a_{22} und b_{1}= b_{2} \end{eqnarray}$ gelten. Für diesen Fall würde es ja keine Lösung geben.Würde das jetzt als Fallunterscheidung ausreichen? Oder anders Formuliert, ist die Angabe der Wertzuweisungen für die einzelnen Variablen schon die Fallunterscheidung?
11.04.2011, 21:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann Dir grad nicht ganz folgen. Die erste Umformung versagt bei $\begin{eqnarray} a_{11}=0 \end{eqnarray}$ , da wir dann nicht teilen dürfen. Dies ist aber die einzige Problematik und muss separat untersucht werden. Danach geht es nur noch um die neu erhaltene Gleichung: Wann hat sie keine, eine und wann unendlich viele Lösungen?
11.04.2011, 22:42	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
hm... genau bei diesen nachweis wie viele Lösungen die Gleichung hat komm ich irgendwie nicht weiter. Ich hab keine Ahnung wie ich das mit den ganzen a´s darstellen soll. Meiner Meinung nach würde die Gleichung z.B. keine Lösung haben wenn für x2=0 und b1 ungleich 0 rauskommt...
11.04.2011, 22:53	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Fassen wir mal kurz zusammen: Wir haben das Problem auf folgende Gleichung reduziert: $\begin{eqnarray} (a_{22}-\frac{a_{12}a_{21}}{a_{11}})x_2 =b_2-\frac{b_1\cdot a_{21} }{a_{11} } \end{eqnarray}$ Nun sollen drei Fälle betrachtet werden: keine Lösung: 0x=d mit $\begin{eqnarray} d\neq 0 \end{eqnarray}$ eine Lösung: x=d unendlich viele Lösungen: 0x=0 Versuche diese drei Typen in der obigen Gleichung wiederzufinden.
11.04.2011, 23:15	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
für den fall keine Lösung müsste also $\begin{eqnarray} 0x_{2}=b_{2} mit b_{2}\neq 0 \end{eqnarray}$ das kommt ja nur zustande, wenn $\begin{eqnarray} \frac{a_{12} a_{21} }{a_{11} } = a_{22} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{b_{1}* a_{21} }{a11}\neq b_{2} \end{eqnarray*}$ würde das jetzt für keine Lösung reichen? ps. danke erstmal für deine ausführliche Hilfe zu dieser Zeit ^^
11.04.2011, 23:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das ganze noch in die Form einer Gleichung =0 bringen, aber im Prinzip reicht das so. Denk nun noch an die anderen Fälle und vergiss nicht, dass der Fall $\begin{eqnarray} a_{11}=0 \end{eqnarray}$ noch extra betrachtet werden muss.
11.04.2011, 23:23	Mö	Auf diesen Beitrag antworten »
phu ok ^^ dann hab ich es doch noch geschnallt, denk mal den rest bekomm ich alleine hin ich möcht nochmal ein ganz großes danke für deine Geduld und Hilfe aussprechen schönen abend noch
11.04.2011, 23:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen und viel Erfolg bei der weiteren Bearbeitung der Aufgaben

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