Skalarprodukt

11.04.2011, 19:58	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt Hallo, ab heut gibts an unserer Uni wieder Übungszettel und prompt meine erste Frage... Ich soll entscheiden für welche Alpha das Folgende ein Reelles Skalarprodukt ist $\begin{eqnarray} <x,y> \ = x_{1} y_{1} + \alpha x_{1}y_{2} + \alpha * x_{2}y_{1} + 7x_{2}y_{2} \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R ^{2}, \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Die Symmetrie und Linearität hab ich abgehandelt, die ist für alle $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray}$ erfüllt Mein Problem ist die positive Definitheit, genauer gesagt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} <x,x> \ \geq 0 \ \forall \ x \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <x,x> = x_{1} x_{1} + \alpha * x_{1}x_{2} + \alpha x_{2}x_{1} + 7x_{2}x_{2} = (x_{1})^{²} + \alpha 2 * x_{1}x_{2} + 7 (x_{2})^{2} \end{eqnarray*}$ Der Fall Alpha größer oder gleich 0 ist natürlich einfach, da sind alle 3 Summanden größer als Null Beim Fall Alpha kleiner 0 komm ich aber einfach nicht weiter
11.04.2011, 22:09	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt Versuch mal das $\begin{eqnarray} x_1^2 \end{eqnarray}$ in einer binomischen Formel zu verarbeiten.
13.04.2011, 17:19	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Komm mit deinem Tipp leider nicht weiter $\begin{eqnarray} <x,x> = x_{1} x_{1} + \alpha * x_{1}x_{2} + \alpha x_{2}x_{1} + 7x_{2}x_{2} = (x_{1})^{²} + \alpha 2 * x_{1}x_{2} + 7 (x_{2})^{2} \geq (x_{1})^{2} + 2* \alphax_{1}x_{2}+(x_{2})^{2} \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt noch abgeschätzt Sind jetzt natürlich verdammt nahe an der 1. (beziehungsweise zweiten, abhängig von alpha und x) binomischen Formel dran. Wenn wir die hinbekommen sind wir fertig, aber komm hier einfach nicht weiter
16.04.2011, 00:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ging es mehr um die direkte Anwendung, nicht eine Abschätzung. $\begin{eqnarray} <x,x> = x_1^2 + \alpha \cdot 2 x_1 x_2 + 7 x_2^2 = (x_1+ax_2)²+ ... \end{eqnarray}$
16.04.2011, 00:19	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Gott bin ich blind Da sucht man immer nach einem Weg, wie möglichst der ganze Term in eine binomische Formel passt. Vielen Dank für die Hilfe

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