Einheiten nach Differenzierung

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Dard Auf diesen Beitrag antworten »
Einheiten nach Differenzierung
Hallo!
Ich bin studierter Informatiker und mir ist jetzt, zwei Jahre nach Abschluss, sauer aufgestoßen, dass ich bemerkt habe, dass ich sogar recht einfache reale Matheprobleme nicht lösen kann. Uns wurde beigebracht, Differentialgleichungen zu lösen, aber einfache Berechnungen von Geschwindigkeiten können bereits unmöglich sein.

Ich habe zwar inzwischen ein Buch mit Beispielaufgaben gekauft, aber meistens sind da irgendwo in der Erläuterung Sprünge drin, wo (einfaches) Wissen vorausgesetzt wurde, das uns aber nie gelehrt wurde.

Demnächst wollte ich mich an ein reales Problem heranmachen, über das wahrscheinlich noch schreiben werde.
Vorerst habe ich versucht, ein Verständnis für mein Problem zu entwickeln.
Ich wollte zumindest wissen, ob die alte Vorgehensweise, das Ergebnis über die Korrektheit der Einheit des Ergebnisses zu überprüfen, überhaupt anwendbar ist.

Dabei ist mir aufgefallen: Ich habe keine Ahnung, wie sich eine Einheit beim Differenzieren oder Integrieren verändert!
Ich weiß, was rauskommen soll. Wenn ich eine Streckenfunktion mit Einheit Meter differenziere, soll die Geschwindigkeit mit Einheit Meter pro Sekunde rauskommen.
Aber wie komme ich darauf?

Wo und wie denke ich falsch, und wie wäre ein richtiger Gedankengang?

Erst die Frage nach dem Umgang der Einheit einer Streckenfunktion an einem einfachen Beispiel.

f(x) ist die Strecke.
x ist der Zeitpunkt.
Einheit von f(x): Meter (m)
Einheit von x: Sekunden (s)

Ich möchte die Strecke zum Zeitpunkt

ist offensichtlich falsch!

ist offensichtlich richtig.
Aber: x hat seine Einheit verloren! Wieso?

Nun die Berechnung zum Zeitpunkt x = 2s

Die Einheit: ist m/s.
Die entscheidende Frage: Wie kommt man darauf?

Annahme: m ist eine einfache Konstante

Problem: taucht dabei nicht auf!

Annahme: x beinhaltet die Einheit s.
Ersetze:

Problem: Immer noch kein !

Anderer Ansatz: Was müsste man ableiten, um auf zu kommen?
Antwort: Den natürlichen Logarithmus.
Aber der natürliche Logarithmus taucht hier nirgendwo auf!

Bin mir nicht sicher, ob das in das Forum "Hochschulmathematik" gehört, weil diese Frage ganz klar jeder Gymnasiast beantworten können sollte, aber wie gesagt, trotz meines Studiums kann ich sie nicht beantworten und meine Zeit im Gymnasium liegt schon fast 20 Jahre zurück.

Und sollte ich beim einfachen Rechnen einen dummen Fehler gemacht haben, bitte ich das zu entschuldigen, weil ich seit vier Jahren nichts mathematisches mehr gemacht habe. Ich taste mich gerade zurück.

Danke!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheiten nach Differenzierung
Hallo!

Zitat:
Original von Dard

f(x) ist die Strecke.
x ist der Zeitpunkt.
Einheit von f(x): Meter (m)
Einheit von x: Sekunden (s)


Suggestiver wäre, wenn du hier statt x besser t schreiben würdest. Wenn du dich für die Dimensionen interessierst, wären die noch dazu zu schreiben:



Die Koeffizienten tragen hier also entsprechende Dimensionen (es geht nur so, denke ich).

Zitat:

Nun die Berechnung zum Zeitpunkt x = 2s

Die Einheit: ist m/s.
Die entscheidende Frage: Wie kommt man darauf?


Also mit t geschrieben:



Die Dimension der Differentiale ist dieselbe wie ihr Argument, also df hat die Dimension m, dt hat die Dimension Zeit (sieh die Differentiale in erster Näherung einfach als Differenz, und eine Differenz hat dieselbe Dimension wie Minuend und Subtrahend).

Grüße Abakus smile
Dard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Suggestiver wäre, wenn du hier statt x besser t schreiben würdest.
Stimmt, das wäre besser.

Zitat:
Wenn du dich für die Dimensionen interessierst, wären die noch dazu zu schreiben:



Die Koeffizienten tragen hier also entsprechende Dimensionen (es geht nur so, denke ich).
Verstehe ich das richtig: Du hast, um die in t enthaltenen Einheiten s wegzukürzen einfach davor ein 1/s (bzw 1/2² wegen dem Quadrat) hingeschrieben? Kann man das einfach so machen?

Das m hingegen kann ich verstehen, das wäre ja einfach (2t² + 1)m ausmultipliziert.
Zitat:
Also mit t geschrieben:



Die Dimension der Differentiale ist dieselbe wie ihr Argument, also df hat die Dimension m, dt hat die Dimension Zeit (sieh die Differentiale in erster Näherung einfach als Differenz, und eine Differenz hat dieselbe Dimension wie Minuend und Subtrahend).
Die Erklärung leuchtet mir schon mal ein, die Beispielformel allerdings nicht.
Müsste hier dann nicht m/s stehen und nicht m/s² ?

Danke schonmal, jetzt bin ich schon einen großen Schritt weiter.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dard
Müsste hier dann nicht m/s stehen und nicht m/s² ?

Nein: m/s² ist vollkommen richtig. Durch die Multiplikation mit der Zeit t (Einheit: s) wird daraus im Endeffekt m/s, die vollkommen richtige Einheit für die Geschwindigkeit f'(t).
Dard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Dard
Müsste hier dann nicht m/s stehen und nicht m/s² ?

Nein: m/s² ist vollkommen richtig. Durch die Multiplikation mit der Zeit t (Einheit: s) wird daraus im Endeffekt m/s, die vollkommen richtige Einheit für die Geschwindigkeit f'(t).
Ich meinte, sollte obiger Erklärung dort nicht m/s stehen?
Deshalb habe ich die Erklärung ja nicht mit dem Beispiel zusammenbringen können.

Das "wieso" verstehe ich noch nicht. Dass es am Schluss aufgeht, ist mir klar, aber nicht wieso dort ursprünglich m/s² hingeschrieben wurde.
Momentan kommt mir das noch so vor wie "Am Ende muss m/s rauskommen, also schreiben wir noch ein 1/s mehr hin damit es sich rauskürzt", aber das kann es doch nicht sein.

Oder anders formuliert:
"Die Dimension der Differentiale ist dieselbe wie ihr Argument"
Das Differential ist "df", also wäre die Einheit "m".
Das Differential ist "dt", also wäre die Einheit "s".
df / dt hat folglich die Einheit m / s.
Wieso steht dort jetzt m / s²?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dard
Wieso steht dort jetzt m / s²?

Gegenfrage: Wieso schreibst du am Anfang einfach nur eine 2 ohne Einheit hin? Wenn du so unphysikalisch rangehst, kann man ja erst durch Rückwärtsschließen auf die wirkliche Einheit kommen! unglücklich
 
 
Dard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Dard
Wieso steht dort jetzt m / s²?

Gegenfrage: Wieso schreibst du am Anfang einfach nur eine 2 ohne Einheit hin? Wenn du so unphysikalisch rangehst, kann man ja erst durch Rückwärtsschließen auf die wirkliche Einheit kommen! unglücklich
Diese Gegenfrage kann ich dir nicht beantworten, weil ich mir bewusst bin, dass ich einen Fehler mache. Ich weiß nur nicht, wie ich es richtig machen soll, deshalb habe ich meine Versuche, auf den richtigen Weg zu kommen, einfach mal hingeschrieben.
Es waren Versuche, mehr nicht. Ich dachte, sie hinzuschreiben hilft dabei, zu erklären, wo mein Problem ist.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Die Weg-Zeit-Funktion macht ohne die richtigen physikalischen Einheiten bei diesen Konstanten 2 (Beschleunigung, z.B. m/s²)und 1 (Weg, z.B. m) schlicht keinen physikalischen Sinn. Wie sonst, wenn nicht durch Rückschließen, willst du auf diese Einheiten kommen?

In meinem Schul-Physikunterricht wurde auf diese Tatsachen deutlich hingewiesen, es ist sozusagen in Fleisch und Blut übergegangen. Offenbar ist das nicht in jedem Physikunterricht so deutlich gemacht worden.
Dard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Die Weg-Zeit-Funktion macht ohne die richtigen physikalischen Einheiten bei diesen Konstanten 2 (Beschleunigung, z.B. m/s²)und 1 (Weg, z.B. m) schlicht keinen physikalischen Sinn. Wie sonst, wenn nicht durch Rückschließen, willst du auf diese Einheiten kommen?
Nun ja, durch ausrechnen.
Zum Beispiel: Ich lege eine Strecke von 5m in 5s zurück.
Ich teile also die Strecke 5m in 5s auf, d.h. ich dividiere 5m / 5s, kürze die 5 und bekomme als Ergebnis 1 m/s.
Ich sehe da nirgendwo ein Rückschluss, ich habe nur ausgerechnet und komme automatisch zur richtigen Einheit.
Zitat:
In meinem Schul-Physikunterricht wurde auf diese Tatsachen deutlich hingewiesen, es ist sozusagen in Fleisch und Blut übergegangen. Offenbar ist das nicht in jedem Physikunterricht so deutlich gemacht worden.
Ich habe Physik bereits früh abgelegt und mein Abitur ist schon 19 Jahre her.
In meinen Mathebüchern von der Uni wird auf dieses Problem nicht eingegangen.
Im gesamten Studium mit vier Semestern Mathematik tauchte nicht eine einzige Einheit auf! Nirgendwo!
Deshalb war der Teilbereich Stochastik auch der einzige, bei der etwas Praxisbezug zu herrschen schien. Dort machten die Ergebnisse auch ohne Einheiten einen praktischen Sinn.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dard
Ich teile also die Strecke 5m in 5s auf, d.h. ich dividiere 5m / 5s, kürze die 5 und bekomme als Ergebnis 1 m/s.

Was, bitte, hat diese Rechnung mit der Weg-Zeit-Funktion zu tun? Finger1

Was du hier beschreibst, ist eine gleichförmige Bewegung , von mir aus auch mit Anfangsweg, also . Dann stimmt deine Beschreibung in Bezug auf die Geschwindigkeit .



P.S.: beschreibt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, mit Anfangsweg 1 m, Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s sowie gleichmäßiger Beschleunigung von 4 m/s². Da gibt es keine konstante (d.h. von t unabhängige) Geschwindigkeit, sondern nur eine vom Zeitpunkt t abhängige Momentangeschwindigkeit.

An der Stelle stoppe ich und möchte dich freundlich, aber bestimmt mal ans Physikboard verweisen, denn ich sehe hier eklatante Wissenslücken, die weniger mit Mathematik zu tun haben als mit grundlegenden physikalischen Verständnis.
Dard Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Dard
Ich teile also die Strecke 5m in 5s auf, d.h. ich dividiere 5m / 5s, kürze die 5 und bekomme als Ergebnis 1 m/s.

Was, bitte, hat diese Rechnung mit der Weg-Zeit-Funktion zu tun? Finger1
Gar nichts.
Ich hatte nur das einfachstmögliche Beispiel gesucht, wie ich ohne Rückschluss eine Einheit mit ausrechnen kann.
Ich bin einfach davon ausgegangen, dass man immer über Rechnung auf eine Einheit kommen kann, und nicht über Rückschlüsse, weil man weiß, was am Ende dort stehen sollte.
Zitat:
P.S.: beschreibt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, mit Anfangsweg 1 m, Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s sowie gleichmäßiger Beschleunigung von 4 m/s². Da gibt es keine konstante (d.h. von t unabhängige) Geschwindigkeit, sondern nur eine vom Zeitpunkt t abhängige Momentangeschwindigkeit.
Ist mir auch klar.
Was physikalisch dahinter steht ist mir absolut bekannt. Mich interessiert lediglich der rechnerische Aspekt, wie man alleine durch Rechnung dort hin kommt.

Meinetwegen können wir die Einheiten "Meter" und "Sekunde" mit "Blaubeere" und "Zuglinie" ersetzen, dann würde das Ergebnis keine reale Bedeutung mehr haben, aber darum geht es ja auch nicht.
Nur, wie sich die Einheiten im Laufe der Rechnung verändern.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dard
Ich bin einfach davon ausgegangen, dass man immer über Rechnung auf eine Einheit kommen kann, und nicht über Rückschlüsse, weil man weiß, was am Ende dort stehen sollte.

Was du also an einem (von dir selbst zugegeben) irrelevanten Beispiel demonstrierst, ist eine akzeptable "Rechnung", während die von René vorgetragene schlüssige Einheitenargumentation an der hiesigen Funktion ein nicht nicht akzeptabler "Rückschluss" ist? Augenzwinkern

Ziemlich schräger Physikverstand.
Roman Oira-Oira Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ziemlich schräger Physikverstand.


Wie oft soll Dard denn noch betonen, daß er eben kein Physiker ist und daß ihm die ganze physikalische Denkweise bisher fremd geblieben ist?

@Dard
Geht mir übrigens ähnlich - schon in der Schulzeit hatte ich keine Probleme mit Mathematik, solange sie nur rein formal eingeführt wurde. In Physik bin ich dagegen überhaupt nicht zurechtgekommen. Der "Physikerverstand" war mir zu schräg und unsauber!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann lassen wir mal die Physik bleiben und wenden uns mathematischer Logik zu:

Inwiefern ist Dards Erklärung tauglich, der 2 in die Einheit m/s zu verpassen, während Renés Erklärung von m/s² dies nicht ist? Das möchte ich jetzt gern mal von dir wissen!


P.S.: Es gibt genug Gelegenheiten, als Mathematiker (der ich übrigens selbst einer bin) die Nase zu rümpfen über physikalische Gepflogenheiten: Etwa wenn von Diracfunktion statt Diracdistribution die Rede ist, usw.

Aber die Betrachtung von Einheiten gehört bestimmt nicht zu solchen Gelegenheiten: Die ist - konsequent durchgeführt - in keinster Weise zu beanstanden.


EDIT (Nachtrag): Keine Reaktion, habe ich mir gedacht. Also eine "Solidaritätserklärung" ohne jede Substanz.
Dard Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, jetzt verzetteln wir uns offensichtlich schwer in Missverständnisse.
Ich versuche es noch einmal zu erklären.

Erstens, ich wollte dem Term nicht die Einheit m/s "verpassen". Ich habe nur offensichtlich Abakus' Erläuterung zur Vorgehensweise der Berechnung noch nicht ganz verstanden. Denn wenn ich seinem Hinweis gefolgt wäre, wie ich es interpretiert habe, wäre m/s rausgekommen, was ja offensichtlich falsch ist.

Zweitens las sich Rene's Erklärung für mich (wahrscheinlich zu unrecht) wie eine Erklärung aus einem Physikbuch mit Bezug zur Realität, nicht wie eine mathematische Vorgehensweise. Bei einer mathematischen Vorgehensweise wie ich sie suche, habe ich keinerlei Vorkenntnis, welche Einheiten am Ende dastehen. Die müssen sich aus der Rechnung ergeben. Das will ich, um die Einheit, die sich am Ende der Rechnung ergibt, mit dem realen Bezug zu vergleichen, um zu sehen, ob ich möglicherweise unterwegs einen Fehler gemacht habe.
Deshalb wollte ich jetzt auch das Rechenbeispiel von einem reellen Bezug abkoppeln, damit die Diskussion nicht durch einen konkreten Anwendungsfall beeinflusst wird. Denn ich habe keineswegs vor, vorwiegend physikalische Probleme zu lösen, sondern genauso welche aus dem Bereich der Wirtschaft.

Drittens, was den "Rückschluss" angeht: Wahrscheinlich habe ich es auch hier falsch verstanden. Was ich unter unzulässigen Rückschluss verstehe ist eben, dass man die Kenntnis der Einheit am Ergebnis der Rechnung als bekannt voraussetzt, und dann den Rechenweg danach anpasst. Nach dem Motto "am Ende muss ein m/s stehen, ich habe aber nur ein m. Deshalb dividiere ich schnell noch durch s, dann stimmt es".
Ich möchte betonen, dass ich niemandem unterstelle, so einen Rückschluss gemacht zu haben. Ich habe nur erwähnt, dass sich für mich eine Erklärung nur so angehört hat und ich deshalb auf eine nähere Erläuterung gehofft habe.
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