Schnittpunkt einer linearen und einer Exponentialfunktion

12.04.2011, 10:37

rebrat

Schnittpunkt einer linearen und einer Exponentialfunktion

Hallo liebes Forum,

ich verzweifle gerade an der Schnittpunktberechnung von zwei Funktionen: einer linearen und einer exponentiellen. Eine Suche bei Google brachte mir nur noch mehr Unklarheiten, außerdem sah ich dort oft etwas wie x^2 als Exponentialfunktion. Eigentlich ist es doch eher 2^x, oder?

Mein Term lautet:

240+90*x = 3*2^x

Es waere super, wenn mir jemand erklaeren koennte, wie ich hier den Schnittpunkt berechnen kann.

Viele Grueße,
rebrat

12.04.2011, 10:46

klarsoweit

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RE: Schnittpunkt einer linearen und einer Exponentialfunktion

Zitat:

Original von rebrat
außerdem sah ich dort oft etwas wie x^2 als Exponentialfunktion.

Das kann ich mir eigentlich nicht vorstellen.

Eine Gleichung, wie du sie hast, kann man in der Regel nicht exakt, sondern nur näherungsweise mit einem Approximationsverfahren lösen.

12.04.2011, 11:01

rebrat

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RE: Schnittpunkt einer linearen und einer Exponentialfunktion

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von rebrat
außerdem sah ich dort oft etwas wie x^2 als Exponentialfunktion.

Das kann ich mir eigentlich nicht vorstellen.

Zum Beispiel hier (Schade, dass man als unregistrierter keine URLs posten darf...):
h t t p : / / t i n y u r l . c o m / 6 g 9 p a u z

Zitat:

Original von klarsoweit
Eine Gleichung, wie du sie hast, kann man in der Regel nicht exakt, sondern nur näherungsweise mit einem Approximationsverfahren lösen.

Ja, mit dem Newton-Verfahren - soviel weiß ich schon, nur wie funktioniert das Ganze? Koennte mir das eventuell jemand anschaulich erklaeren?

Vielen lieben Dank!

12.04.2011, 11:08

klarsoweit

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RE: Schnittpunkt einer linearen und einer Exponentialfunktion

Zitat:

Original von rebrat
Zum Beispiel hier (Schade, dass man als unregistrierter keine URLs posten darf...):
h t t p : / / t i n y u r l . c o m / 6 g 9 p a u z

Das Beispiel hat mit einer Exponentialfunktion nichts zu tun und nur, weil das jemand in den Titel schreibt, muß es nicht stimmen.

Zitat:

Original von rebrat
Ja, mit dem Newton-Verfahren - soviel weiß ich schon, nur wie funktioniert das Ganze? Koennte mir das eventuell jemand anschaulich erklaeren?

Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verf...tion_am_Graphen

Im wesentlichen mußt du die rekursive Folge $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \end{eqnarray*}$ bilden. Dazu mußt du dir einen halbwegs geeigneten Startwert x_0 suchen.

12.04.2011, 13:31

René Gruber

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LambertW-Lösungsweg
Vorwarnung: Nur für Leute geeignet, die Zugriff auf die LambertW-Funktion haben (z.B. per CAS) - alle anderen bitte diesen Beitrag ignorieren. Augenzwinkern

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Mit Hilfe der LambertW-Funktion kann man sämtliche Gleichungen

$\begin{eqnarray*} a^x = bx+c \end{eqnarray*}$

lösen, wobei $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ reell mit $\begin{eqnarray*} a>0,a\neq 1,b\neq 0 \end{eqnarray*}$ sind (im vorliegenden Fall etwa wäre $\begin{eqnarray*} a=2,b=30,c=80 \end{eqnarray*}$ einzusetzen):

Umgeschrieben ergibt sich nämlich

$\begin{eqnarray*} (bx+c)\exp(-x\ln(a)) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{\ln(a)}{b} (bx+c)\exp\left(-\frac{\ln(a)}{b}(bx+c)\right) = -\frac{\ln(a)}{b} \exp\left(-\frac{c\ln(a)}{b} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{\ln(a)}{b} (bx+c) = W\left( -\frac{\ln(a)}{b} \exp\left(-\frac{c\ln(a)}{b} \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{c}{b}-\frac{1}{\ln(a)} \cdot W\left( -\frac{\ln(a)}{b} \exp\left(-\frac{c\ln(a)}{b} \right) \right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$

P.S.: Zu beachten ist, dass die LambertW-Funktion $\begin{eqnarray*} W(t) \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t=\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ eindeutig ist, für $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{e} < t < 0 \end{eqnarray*}$ gibt es zwei "Zweige", und für $\begin{eqnarray*} t<-\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ gar keinen. Das schlägt sich entsprechend in einer, zwei bzw. gar keinen Lösung in (*) nieder.

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