HILFE! Potenzreihenentwicklung

05.12.2006, 08:31

Lichy

HILFE! Potenzreihenentwicklung

Habe folgende Aufgabe:

Man gebe die ersten 3 Glieder der Potenreihe von
$\begin{eqnarray*} \frac{cosh x - cos x}{x²} \end{eqnarray*}$ an

Lös: $\begin{eqnarray*} 1+\frac{2x^{4}}{6!}+\frac{2x^{8}}{10!} \end{eqnarray*}$

Hab sowas noch nie gemacht und beim nachschlagen nix gefunden!Wie muss ich sowas entwickeln?Wie ne Taylor-Reihe?Hab aber kein x0!Muss ich den Zäler nach x auflösen, und wenn ja wie? Und wie kommt der auf 6 Fakultät..?Ne allgemeine Hilfe wäre super!Danke

05.12.2006, 09:58

uwe-b

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Dies funktioniert mit der Taylorreihe Augenzwinkern

Taylorreihe an der Stelle x=a:

$\begin{eqnarray*} T_n(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!} + \frac{f''(a)}{2!} (x-a) + ...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch die Ableitungen bestimmen...

05.12.2006, 13:38

Lichy

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Ja, aber ich hab doch kein a und in der Lösung taucht auch kein a auf!

05.12.2006, 13:41

klarsoweit

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Dann solltest du mal über a=0 nachdenken. Wobei ich mich frage, ob es nicht geschickter wäre, die Taylorreihen von cosh(x) und cos(x) getrennt aufzuschreiben, dann die Differenz zu nehmen und anschließend durch x² zu dividieren.

05.12.2006, 13:48

Calvin

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@uwe-b

deine Taylorsumme ist nicht ganz korrekt. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} & T_n(x) & =f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\ && =\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i \end{eqnarray*}$

Des weiteren sollte man noch erwähnen, dass das nur eine Näherung für f(x) ist. Für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ erhält man innerhalb des Konvergenzbereichs der Reihe exakt die Funktion f.

05.12.2006, 16:45

Lichy

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hast recht, des mit der getrennten Reihenentwicklung wäre ne Möglichkeit, aber grundsätzlich kann nicht 0 sein, da ja sonst der Nenner dauernd 0 wäre. ODER?

05.12.2006, 18:56

klarsoweit

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RE: HILFE! Potenzreihenentwicklung
Man könnte aber die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{cosh(x) - cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ für x <> 0 mit f(0) = 1 nach x=0 stetig fortsetzen. Jetzt muß man noch schauen, ob die da auch differenzierbar ist.

05.12.2006, 19:03

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RE: HILFE! Potenzreihenentwicklung
Betrachtet man die "erwartete" Lösung, ist die Aufgabenstellung inkorrekt. Sie hätte lauten müssen:

Zitat:

Original von Lichy
Man gebe die ersten 3 Nichtnull-Glieder der Potenreihe von
$\begin{eqnarray*} \frac{\cosh x - \cos x}{x^2} \end{eqnarray*}$ an

Streng nach Vorschrift wäre nämlich sonst

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2 \end{eqnarray*}$

die Antwort. Teufel

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