Mächtigkeit

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12.04.2011, 13:38	Tomzwo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit Meine Frage: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage. $\begin{eqnarray} \| \mathbb R \| = \| C \|. \end{eqnarray}$ Mit C sind die komplexen Zahlen gemeint. Meine Ideen: zwei Mengen X und Y heißen gleichmächtig wenn es eine Bijektion von X nach Y gibt. Man schreibt dann \| X \| = \| Y \|. es muss dann eine Bijektion von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach C geben. Komme irgendwie nich weiter.Ich bitte um Hilfe
12.04.2011, 19:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt raumfüllende Wege, also $\begin{eqnarray} \|\mathbb R\|=\|\mathbb R^2\| \end{eqnarray}$
13.04.2011, 16:42	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist auch nicht all zu schwer, eine Bijektion konkret anzugeben.
14.04.2011, 13:44	Tomzwo	Auf diesen Beitrag antworten »
komme irgendwie nich klar bei der aufgabe wie genau zeige ich dass es eine bijektion ist?
14.04.2011, 14:05	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst deine Frage schon präziser stellen. Was ist 'es' bei dir? Hast du eine konkrete Abbildung im Auge und Probleme zu zeigen, dass sie ein Bijektion ist? Du kennst doch die Definition einer Bijektion?
14.04.2011, 14:14	Tomzwo	Auf diesen Beitrag antworten »
man muss zeigen dass es injektiv und surjektiv ist eine abb. f:M nach N heißt surjektiv falls im(f)=N ist. eine Abb. f:M nach N hast injektiv fass x aus M durch f(x) aus N stet eindeutig bestimmt ist. aber wie wende ich das bei meinem beispiel an?
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14.04.2011, 14:23	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit 'meinem Beispiel'? Du hast doch erst mal nur 2 Mengen, $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ und noch keine Abbildung zwischen ihnen. Hast du auch eine konkrete Abbildung im Auge oder möchtest du einen reinen Existenzbeweis führen?
14.04.2011, 14:35	tomzwo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich dachte die abb. wäre g:R nach C?
14.04.2011, 14:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon. Aber es gibt doch beliebig viele Abbildungen von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Und die meisten davon sind nicht bijektiv. Man kann z. B. $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ abbilden auf $\begin{eqnarray} a+0\cdot i \in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Diese Abbildung ist offensichtlich injektiv, aber ebenso offensichtlich nicht surjektiv. Die Frage ist also, hast so eine konkrete Abbildung im Auge, von der du glaubst, sie sei bijektiv oder möchtest du nur zeigen, dass es eine solche Abbildung gibt, ohne sie konkret anzugeben?
14.04.2011, 14:48	Tomzwo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll es beweisen oder widerlegen
14.04.2011, 15:24	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint, die Thematik ist zu hoch für dich. Ich gebe dir jetzt einfach eine konkrete Bijektion an. Es ist offensichtlich $\begin{eqnarray} \|\mathbb C\| =\|\mathbb R \times \mathbb R\| \end{eqnarray}$ . Und ich setze $\begin{eqnarray} \|\mathbb R\| = \|I\| \end{eqnarray}$ als bekannt voraus. Dabei soll $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ein beliebiges Intervall aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sein. Dann genügt es zu zeigen, $\begin{eqnarray} \|I\|=\|I \times I\| \end{eqnarray}$ . Es sei jetzt $\begin{eqnarray} I = (0, 1] \end{eqnarray}$ . Die Elemente von $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ sind also die reellen Zahlen x mit $\begin{eqnarray} 0< x \leq 1 \end{eqnarray}$ . Diese Zahlen können im Dezimalsystem eindeutig als nichtabbrechende Dezimalzahlen dargestellt werden. Eine in üblicher Notation abbrechende Dezimalzahl (Periode 0) wird dabei also als nichtabbrechende Dezimalzahl mit Periode 9 dargestellt. Es sei jetzt $\begin{eqnarray} x \in I, y \in I \end{eqnarray}$ . Nun wird das Paar (x, y) wie folgt auf $\begin{eqnarray} z \in I \end{eqnarray}$ abgebildet: Man grenzt in der Dezimaldarstellung von x und y jeweils Ziffernkomplexe bis zur nächsten von 0 verschiedenen Ziffer ab. Nun setzt man diese Ziffernkomplexe von x und y abwechselnd zu einer Dezimaldarstellung von z zusammen. Beispiel: x = 0,3 06 007 8 9 ... y = 0,001 2 3 004 6 ... z = 0,3 001 06 2 007 3 8 004 9 6 ... Es sollte offensichtlich sein, dass man damit eine Bijektion hat.

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