Variable in einer Gleichung aus komplexen Zahlen bestimmen

12.04.2011, 15:18

MBT86

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Variable in einer Gleichung aus komplexen Zahlen bestimmen

Hallo! Die Variable a (aus .d.Menge der reellen Zahlen) soll so bestimmt werden, dass folgende Gleichung erfüllt ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(a+2i\right) }{\left(1+ai\right) } = \frac{\left(3+i\right) }{2} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung so far:

- linken term durch erweitern mit dem konjugiert komplexem divisor umgeformt. da kommt dann raus :

$\begin{eqnarray*} \frac{\left(a-a^{2}i+2i+2) \right) }{\left(1+a^{2} \right) } = \frac{\left(3+i\right) }{2} \end{eqnarray*}$

-dann so umgeformt, dass ich keine nenner mehr habe (also einfach jeweils die Nenner auf die andere seite "hoch" multipliziert. da kommt jetzt was raus was aussieht wie ne quadratische gleichung (ist aber keine). hab das dann so weit wie möglich nach a und i sortiert und zusammengerechnet:

$\begin{eqnarray*} \left(2a-3a^{2}-3a^{2}i \right) = -3i-1 \end{eqnarray*}$

und nun? wenn ich a ausklammere kommt auch nur mist raus...

12.04.2011, 16:00

Mystic

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RE: Variable in einer Gleichung aus komplexen Zahlen bestimmen

Zitat:

Original von MBT86
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(a-a^{2}i+2i+2) \right) }{\left(1+a^{2} \right) } = \frac{\left(3+i\right) }{2} \end{eqnarray*}$

Der linke Term ist falsch...

Übrigens, nicht so exzessiv Klammern setzen, also z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac {a+bi}{c+di} \text{ statt } \frac {(a+bi)}{(c+di)} \end{eqnarray*}$

Less is more! Big Laugh

Big Laugh

12.04.2011, 16:26

MBT86

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das hab ich gemacht, weil hier alle immer so kleinkariert sind :-P

12.04.2011, 16:40

Mystic

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Das kommt daher, weil viele Leute die zwei Bruchstriche, nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{\ldots}{\ldots} \text{ und } \ldots/\ldots \end{eqnarray*}$

nicht auseinanderhalten können... Der erste hat die Klammern schon inkludiert, der zweite noch nicht, sodass man obigen Bruch z.B. dann richtig als (a+bi)/(c+di) schreiben müsste...

Hast du übrigens den Fehler in deiner Rechnung schon gefunden?

12.04.2011, 17:18

MBT86

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nun habe ich für den linken Term :
$\begin{eqnarray*} \frac{3a-a^{2}i+2i }{1+a^{2} } \end{eqnarray*}$

-hab wieder die nenner hochmultipliziert und soweit wie möglich zusammengefasst. alle ai auf die rechte seite gebracht:

$\begin{eqnarray*} 2a+i-1-a^{2} = a^{2}i \end{eqnarray*}$

sieht schon besser aus, aber nun?

12.04.2011, 17:40

Mystic

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Zitat:

Original von MBT86
sieht schon besser aus, aber nun?

Ich würde meinen, das ist eine quadratische Gleichung in a...

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12.04.2011, 21:52

MBT86

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Hi!

Ich hab jetzt viele Umformungen ausprobiert und kann keinen Term aufstellen, der einer quadratischen Funktion gleichkommt...also die Form $\begin{eqnarray*} a_{2} x^{2} +a_{1} x+a_{0} \end{eqnarray*}$ .

Kann hier schlecht alle umformungen hinschreiben (zu viel getippse)... das hauptproblem ist , dass ich nicht weiß was ich mit den zwei $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ machen soll... kannst du mir noch nen tipp geben? möglichst heiß, wenns geht Gott

Gott

12.04.2011, 21:59

Mystic

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Du könntest ja einfach mal die Voraussetzung benützen, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ja reell sein muss... Welchen zwei Bedingungen (je eine für Real und Imaginärteil!) würden sich daraus ergeben?

12.04.2011, 22:35

MBT86

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bahnhof... ich weiß, dass ich eine reelle zahl herausbekomme, wenn ich z (komplexe zahl) mit dem konjugierten z multipliziere. falls du das meinst, bringt es mich nicht weiter...

12.04.2011, 23:01

Mystic

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Nimm von jedem Term in der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2a+i-1-a^{2} = a^{2}i \end{eqnarray*}$

den Realteil und mache eine Gleichung für die Realteile daraus... Der Realteil von 2a ist 2a, der Realteil von i ist 0, der Realteil von -1 ist -1 usw. Mach dasselbe für die Imaginärteile... Du bekommst so zwei Gleichungen und du musst dann die gemeinsamen Lösungen für a finden...

12.04.2011, 23:01

Tyar

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sortier erstmal deine zahlen. Hohe Potenzen ganz rechts, niedrigere links und denk dran, dass du mit komplexen Zahlen arbeitest und das sowohl Real-, als auch Imaginärteil in C mal fehlen kann. Also sortier auch noch nach Realteil und Imaginärteil.

edit: ok Mystic war schneller. So in der Art meinte ichs ^^

12.04.2011, 23:37

MBT86

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klingt nachvollziehbar smile

smile

probiers morgen früh gleich aus und verkünde die frohe botschaft. Mit Zunge

Mit Zunge

13.04.2011, 08:02

Huggy

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Du könntest dir den Umweg über die quadratische Gleichung auch sparen, wenn du die Ausgangsgleichung einfach mit 1 + ai multiplizierst. Dann hast du eine lineare Gleichung für a.

13.04.2011, 08:28

Mystic

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Zitat:

Original von Huggy
Du könntest dir den Umweg über die quadratische Gleichung auch sparen, wenn du die Ausgangsgleichung einfach mit 1 + ai multiplizierst. Dann hast du eine lineare Gleichung für a.

In der Tat, das habe ich auch übersehen... unglücklich

unglücklich

Oder noch besser gleich mit 2(1+ai) multiplizieren um alle Nenner wegzubekommen...

13.04.2011, 19:22

MBT86

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hab es jetzt erstmal nach dem prinzip gelöst, dass ihr mir gestern abend erklärt habt und da ist nun mein ergebnis a=1 .... Was sagt ihr dazu?

13.04.2011, 20:37

Huggy

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Stimmt!

Freude

13.04.2011, 20:41

MBT86

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YEAH! Ihr seid toll! Prost

Prost

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