Brauche Hilfe bei numerischer Integration

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SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »
Brauche Hilfe bei numerischer Integration
Meine Frage:
Hi!

Ich hab grad ziemliche Probleme beim Anwenden der Kepler´schen Fassregel, dem Rechteck- und Trapezverfahren. Inzwischen hab ich zwar die Formeln rausgekriegt und den groben Aufbau verstanden, bin mir aber bei der Rechnung unsicher und komme auch aufs falsche Ergebnis.
Könnte mir vllt. jemand netterweise folgende Aufgabe beispielhaft ausrechnen, damit ich die Anwendung der Formel endlich verstehe..?



Meine Ideen:
es gilt:
4*\int_0^1 \! f(1/(1+x^{2} ) \, dx

--> Näherungswerte mit den drei Verfahren bestimmen.Lösung muss etwa pro Intervall um die 3,1 liegen.

Vielen Dank!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei numerischer Integration
1. Wie lautet die zu integrierende Funktion? Auf welchem Intervall? Formeleditor verwenden.
 
 
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »



Das ist die Funktion
(sorry, hab eben erst den Formeleditor gecheckt..*hust*..)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Soll es nicht



heißen und gesucht ist

?

Sonst macht das für mich wenig Sinn... verwirrt
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

Also in der Aufgabe steht das so als Fakt drin.
"Der exakte Wert dieses Integrals ist . Auf welche Näherungswerte kommt man mit den drei Annäherungsverfahren bei einem einzigen Intervall?"

Mehr kann ich leider auch nicht dazu beisteuern, sorry unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du ein Bild hochladen?
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

leider nicht, aber ich kann noch ne andere Aufgabe anbieten^^
Oder ihr habt vllt. einfach eine, die man mit den drei Annäherungsverfahren rechnen kann- einfach, damit ich die Ausführung mal sehe- das würde mir auch schon viel helfen!
(Ich will mich jetzt nicht unbedingt an der einen Aufgabe festkrallen..)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Vertrau mir mal, dass es eigentlich heißt heißen und gesucht ist ? Das ist nämlich .

Was sagt nun das Rechtecksverfahren, was zu machen ist?
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

ehm.. wir bräuchten doch jetzt erstmal die unterteilung in eine bestimmte streifenanzahl, oder nicht?
ist von der Formel dann b die obere Grenze des Intervalls und a die untere..?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der exakte Wert dieses Integrals ist . Auf welche Näherungswerte kommt man mit den drei Annäherungsverfahren bei einem einzigen Intervall?"


Bedenke, für mehr intervalle musst du die Regeln "summiert" nenne.
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

also nehmen wir aus der Formel und haben b in diesem Fall = 1 und a =0, oder wie meinst du das?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne deine Formel nicht. Wir machen



http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunktsregel

mit a=0, b=1,
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne die hier..


Ich bin jetzt n bisschen verwirrt.. warum müssen wir denn den Mittelpunkt bei dem Rechtecksintervall ausrechnen? (ich dachte das wär nur beim Trapez OO)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Regel so lautet? Man bestimmt die Höhe des Rechtecks als Funktionswert an der Stelle x=(a+b)/2...

Mach das doch einfach mal... traurig Dann können wir die nächste Regel machen. Ich suche dir immer die einfachen Formeln. Dann können wir immer noch abgleichen mit der "Summierten Formel.

Hier:
[WS] Numerische Integration - Theorie
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

okay Ups
sind 0,8
und weiter?^^

(ich wollte nur nochmal vorsichtig anmerken dass ich darüber morgen eine oberstufen-klausur schreibe traurig )
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Pi =3.14 ...

4*0.8 =3.2

=> Schon nah dran.

In der Klausur wird dann wohl auch nur 1 Intervall dran kommen.

Trapezverfahren

http://de.wikipedia.org/wiki/Trapezregel



Wieder nur Einsetzarbeit.
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

oha, das wars schon?00

okay, beim Trapez ist das Ergebnis dann also genau 3.
und bei der simpson-regel?

als erweiterung der aufgabe steht dasselbe nochmal in grün für 2 Teilintervalle. Könnten wir das auch noch machen, bitte? Ups
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir Simpson:
http://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel

SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

da komm ich jetzt aber seltsamerweise auf 2,466666.. verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal rechnen. Es kommen 47/60 raus, die nehmen wir noch mal 4, 3.133
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

okay.
Vielein vielen Dank schon mal dafür! Gott

Können wir das mit den zwei Teilintervallen gerade nochmal durchgehen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nun total einfach für mich, du hast die Arbeit. Big Laugh

Je Formel musst du nun 2mal das machen, was wir eben gemacht haben. Einmal mit a=0, b=0.5 und einmal mit a=0.5, b=1.
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

Yuppie! Big Laugh
verstanden Augenzwinkern
aber wenn wir jetzt zum Beispiel 8 Intervalle haben- das machen wir doch nicht alles einzeln, oder? Finger1
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Formel [schwer korrekt zu merken] nimmt dir nur ab, die inneren Punkte 2 mal einzugeben. Hier x=0.5.

Für die Arbeit solltest du es einzeln machen Augenzwinkern

Auf den wikilinks stehen auch summierte Formeln, wollen wir die durchgehen...?
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

klar, gerne smile

Könntest du mir vllt. am Schluss den Banach´schen Fixpunktsatz etwas erläutern? Mit Wikipedia kann ich da nichts anfangen..

(ich nehm dich heute ganz schön unter Beschuss.. tut mir leid..-.-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Steht alles hier: [WS] Numerische Integration - Theorie Machen wir nun 8 Intervalle:

Mittelpunktsregel:

Naja, das ist nicht so schwer. Es gibt ja keine doppelten Punkte:





wird zu



mit

SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »


das ist mir klar; (b-a): 8 ist doch theoretisch die Streifenbreite, richtig?

aber der letzte Schritt..?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Streifenbreite. Was meinst du mit letztem Schritt?
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

schon gut, verstanden.

das war alles?
Einfach Streifenbreite mal die Summe aller Streifen mal der Funktion?
was setzen wir dann hier konkret für xp ein? das ist mir noch unklar.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die xp sind die Mittelpunkte der Teilintervalle. Da musst du f natürlich immer auswerten. Also so viel bringt die "geschlossene" Formel nicht. Daher hatte ich geraten, lieber die einfache Formel auf jedem Streifen zu machen. Dann kommt man nicht durcheinander. Augenzwinkern
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

hmm..also so richtig arg verkürzt sind die summierten Formeln also gar nicht.
Okay, dann mach ich das lieber für alle einzeln. (Unser Lehrer wird wohl hoffentlich keine Monsterzahlen nehmen) Ich hab ja vorhin schon n Fehler bei der Simpson-Regel eingebaut..-.-
Bei der Simspon-Regel ändert sich aber auch bei bspw. 16 Intervallen nichts, außer das n, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hmm..also so richtig arg verkürzt sind die summierten Formeln also gar nicht.


Nein, sind sie nicht. Man schreib sie so auf, weil man sie so programmiert. Für das Rechnen von Hand verliert man schnell die Übersicht und macht Fehler.

Der Lehrer wird schon nicht zu viele Intervalle wollen. Und selbst wenn, du schreibst hin, was du auf jedem Intervall machst. Das ist besser als eine Formel zu knörzeln, die dann ws falsch ist. => Sicher dir Teilpunkte!

Zitat:
Bei der Simspon-Regel ändert sich aber auch bei bspw. 16 Intervallen nichts, außer das n, oder?


wie meinst du das?
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »


Bei der Formel- ändert sich da etwas wenn ich 8 Intervalle habe?
Weil man ja anscheinend immer n=6 nimmt (bei (b-a): 6)
Ist das quasi universal anwendbar/ unabhängig von der Intervallanzahl?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Stand doch im Link:


Ändert sich schon.
SvenjaM Auf diesen Beitrag antworten »

ach du meine güte!
Okay, summierte numerische Integration vergess ich mal ganz schnell wieder..
Dank dir für die Hilfe=)


Hast du noch zeit um mir evtl. den banach´schen Fixpunktsatz zu erklären..?
Wenn nicht, ist auch nicht schlimm. Ich bin jetzt schon um einiges schlauer^^
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal in die Workshops, da habe ich schon was dazu geschrieben.

Fragen in einen eigenen Thread. Ich habe nun bis 21.00 Pause.

Vielleicht hilft wer anderes, ich schaue aber noch mal rein. Wink
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