Frage zu Umkehrfunktion

12.04.2011, 17:30

DonQuijote

Frage zu Umkehrfunktion

Gehe ich recht in der Annahme, dass eine Funktion streng monoton steigend sein muss damit es eine zugehörige Umkehrfunktion gibt ? Also es reicht nicht aus wenn ich sage dass die Funktion monoton steigend ist. Weil dann dem Bildelement nichtmehr eindeutig sein Urbildelement zugewiesen werden kann ?

Danke für jede Hilfe

Grüße

12.04.2011, 18:09

Roman Oira-Oira

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RE: Frage zu Umkehrfunktion
Du gehst recht in der Annahme!

Edit: Oder natürlich streng monoton fallend.

12.04.2011, 18:13

Iorek

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Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R~\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} x & x\notin \{0;1\} \\ 1 & x=0 \\ 0 & x=1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ohne weitere Anforderungen wie z.B. Stetigkeit lassen sich beliebige weitere Gegenbeispiele konstruieren.

12.04.2011, 18:16

DonQuijote

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jup danke euch beiden

12.04.2011, 18:33

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Iorek
Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R~\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto \begin{cases} x & x\notin \{0;1\} \\ 1 & x=0 \\ 0 & x=1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Frage zur Verdeutlichung: Du willst mit Deinem Gegenbeispiel zeigen, daß der Satz

f ist streng monoton steigend (fallend) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert

als Äquivalenzaussage allgemein nicht gilt (die von Dir definierte Funktion ist ja nicht monoton steigend und trotzdem existiert die Umkehrfunktion).

Vielmehr gilt ohne weitere Annahmen nur die Folgerung von der strengen Monotonie auf die Existenz der Umkehrfunktion.

Ist das so korrekt?

12.04.2011, 18:43

Iorek

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Nein, auch die strenge Monotonie reicht nicht aus.

$\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R_+\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ist streng monoton aber besitzt keine Umkehrfunktion.

12.04.2011, 19:05

DonQuijote

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da nicht bijektiv ne

12.04.2011, 19:11

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Iorek
Nein, auch die strenge Monotonie reicht nicht aus.

$\begin{eqnarray*} f:~\mathbb R_+\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ ist streng monoton aber besitzt keine Umkehrfunktion.

Hier würde ich Dir nicht zustimmen!

Ich nehme an, Du denkst hier an die Umkehrung des Quadrats durch die Wurzel. Die Operation des Wurzelziehens ist natürlich nicht eindeutig (positive und negative Wurzel als Ergebnis). Die Wurzelfunktion ist allerdings eindeutig definiert (nur der positive Ast der Wurzelrelation wird als Wertemenge definiert). Siehe hierzu z.B. Wikipedia.

Allgemein gilt, daß eine streng monotone Funktion injektiv ist. Und aus der Injektivität folgt die Existenz der Umkehrfunktion.

Dies wird schon aus der allgemeinen mengentheoretischen Definition einer Funktion klar, wenn man eine Funktion als Menge von geordneten Paaren betrachtet: $\begin{eqnarray*} f = \{(x,y) : x \in \mathbb D \wedge y \in \mathbb W\} \end{eqnarray*}$ , wobei f hier als injektiv angenommen werden soll.

Die Umkehrfunktion existiert einfach deshalb, weil man die geordneten Paare von f wegen der Injektivität von f einfach umkehren kann und wieder eine Menge von Paaren mit der Funktionseigenschaft erhält.

Oder sollte ich Dich falsch verstanden haben?

12.04.2011, 19:21

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von DonQuijote
da nicht bijektiv ne

Nach meiner Erläuterung sollte f durchaus bijektiv sein!

Nachzulesen übrigens z.B. in Wikipedia in den Artikeln "Wurzel" und "Monotonie - Unterpunkt 'Umkehrfunktion'". Und natürlich nicht nur in Wikipedia sondern auch in diversen Mathematikbüchern.

12.04.2011, 19:30

DonQuijote

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Ich denk du musst hier den Wertebereich trotzdem einschränken auf R+, dass die Funktion biijektiv ist und dann ist sie auch umkehrbar.

R+ nach R+ also mit f(x) = x^2

So wird jedem Bildelement sein eindeutiges Urbildelement zugewiesen

12.04.2011, 19:36

Huggy

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Streng formal hat Iorek schon recht. Er hat nämlich hinterhältigerweise in seine Definition der Funktion als Bildbereich den gesamten $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hineingeschrieben. Und auf dem so definierten Bildbereich gibt es natürlich keine Umkehrfunktion, weil die negativen Zahlen gar nicht als Bilder auftreten, es zu ihnen also auch keine Urbilder gibt.

Ich rechne das zu den Beispielen von Überexaktheit, die nur zur Verwirrung beitragen, wenn man sie kommentarlos abgibt. Bei der Frage nach der Existenz der Umkehrfunktion versteht üblicherweise unausgesprochen als definierten Bildbereich die Menge der tatsächliche auftretenden Bilder.

Edit: Hat DonQijote schon angemerkt.

12.04.2011, 19:45

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von DonQuijote
Ich denk du musst hier den Wertebereich trotzdem einschränken auf R+, dass die Funktion biijektiv ist und dann ist sie auch umkehrbar.

R+ nach R+ also mit f(x) = x^2

So wird jedem Bildelement sein eindeutiges Urbildelement zugewiesen

Vielleicht ist es das, was Iorek gemeint hat, daß die Definitionsmenge der Wurzelfunktion natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ ist und nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Darauf hatte ich garnicht geachtet. Das ist aber auch der Grund, warum ich in meiner Paarmengenargumentation mit den Begriffen D (Definitionsmenge) und W (Wertemenge) gearbeitet habe.Und nicht mit dem Begriff Zielmenge. In der Wertemenge sind tatsächlich nur die Werte enthalten, die als Funktionswerte vorkommen.

12.04.2011, 19:48

Iorek

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Zitat:

Original von Huggy
Ich rechne das zu den Beispielen von Überexaktheit, die nur zur Verwirrung beitragen, wenn man sie kommentarlos abgibt. Bei der Frage nach der Existenz der Umkehrfunktion versteht üblicherweise unausgesprochen als definierten Bildbereich die Menge der tatsächliche auftretenden Bilder.

Unter anderem das meinte ich mit weiteren Bedingungen, die an die Funktion gestellt sein müssen.

Es lassen sich ansonsten auch streng monotone Funktionen auf ganz IR definieren, die keine Umkehrfunktion besitzen, z.B. $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto\begin{cases} x & x<0 \\ x+1 & x\geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ . Fordert man hingegen z.B. eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so reicht die strenge Monotonie für die Injektivität und nach einer passenden Einschränkung $\begin{eqnarray*} \tilde f:\mathbb R\rightarrow \operatorname{Bild(f)} \end{eqnarray*}$ für die Bijektivität aus.

12.04.2011, 19:49

Roman Oira-Oira

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Danke Huggy! Habe Deinen Beitrag erst nach meinem neuen Posting gelesen. Wir sind jetzt wohl alle 3 (edit 4) einer Meinung.

Und ich stimme Dir besonders zu bei Deiner Anmerkung "kommentarlos"!

12.04.2011, 23:01

tmo

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Zitat:

Original von Iorek
Fordert man hingegen z.B. eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ , so reicht die strenge Monotonie für die Bijektivität aus.

Betrachte die stetige, streng monotone Funktion $\begin{eqnarray*} \arctan: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Streng genommen (ebenso streng wie dein Beispiel Augenzwinkern

) gibt es hier auch keine Umkehrfunktion, da Bijektivität nicht gegeben ist.

12.04.2011, 23:05

Iorek

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Touché.

12.04.2011, 23:57

tmo

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Übrigens:

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
daß der Satz

f ist streng monoton steigend (fallend) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert

als Äquivalenzaussage allgemein nicht gilt

Hier wurde noch kein Bezug auf die Rückrichtung genommen, was ich hiermit mal tue:

Die Rückrichtung ist nämlich auch nur dann im Allgemeinen richtig, wenn z.B. als zusätzliche Bedingung die Stetigkeit gestellt wird. Sonst kann man leicht Beispiele von Bijektionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, die nicht monton sind.

Z.b. $\begin{eqnarray*} f(x)=x+1_{\{0\}}(x) - 1_{\{1\}}(x) \end{eqnarray*}$

Man verzeihe mir die Indikatorfunktionen, so spät abends kriege ich keine Fallunterscheidung mehr mit Latex hin.

Die Bijkektivität (und die Umkehrfunktion) folgt direkt aus $\begin{eqnarray*} f^2=\operatorname{id} \end{eqnarray*}$ .

13.04.2011, 00:23

Roman Oira-Oira

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@tmo
Vielen Dank für den späten Kommentar.

Ich glaube, ich habe die ganze Zeit an Iorek vorbei geredet. Ich habe bis kurz vor Ende garnicht begriffen, daß es ihm um die in der Funktionsdefinition angegebenen Zielmengen ging.

Ich hingegen habe immer vorausgesetzt, daß es für die Existenz einer Umkehrfunktion nur um die Injektivität der Funktion bezüglich der Bildmenge (von mir oben auch einmal Wertemenge genannt) geht (Bildmenge $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ Zielmenge). Denn da in der Bildmenge alle Werte Funktionswerte sind, ist die Surjektivität - und somit auch die Bijektivität- implizit gegeben.

Ist denn das überhaupt allgemein und eindeutig so definiert, daß es bei der Existenz der Umkehrfunktion auf die Bijektivität von f bezüglich Definitionsmenge und Zielmenge (nicht Bildmenge) ankommt? Ich habe nämlich immer nur die Bildmenge im Kopf und habe deshalb Eure Beispiele nie als Gegenbeispiele erkannt.

13.04.2011, 07:43

tmo

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Ja, das ist so definiert. Eine Umkehrfunktion zu einer Funktion, ist eine Funktion g mit $\begin{eqnarray*} f \circ g = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \circ f = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ . Ersteres impliziert sofort die Surjektivität.

Denn: Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn es eine Rechtsinverse gibt.
Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn es eine Linksinverse gibt.

Konsequenterweise ist eine Funktion genau dann bijektiv, wenn es beides gibt. Die stimmen dann auch überein und man nennt sie die Umkehrfunktion.

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