Konvergenz einer Reihe

05.12.2006, 11:49

Binchen

Konvergenz einer Reihe

Hallo,

ich möchte ein Reihe auf Konvergenz überprüfen, und ich komme nicht drauf...

$\begin{eqnarray*} \sum_{.}^. ~ \sqrt[n]{a}-1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich also davon ausgehe, dass die Folge eine Nullfolge sein muss, damit die Reihe konvergiert, und ich n gegen unendlich annehme, müsste doch der Wurzelausdruck 1 werden, so dass am Ende eine 0 herauskommt als Grenzwert für die Folge.

Ist der Gedankengang völlig falsch?

05.12.2006, 11:55

Ambrosius

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grundsätzlich falsch nicht.

es ist nur so: wenn du eine reihe hast, deren folge keine nullfolge ist, so konvergiert die reihe sicherlich nicht.

aber: wenn du eine reihe hast, deren glieder eine nullfolge bilden, impliziert das nicht, das die reihe konvergiert.

(betrachte z.B. die harmonische reihe)

05.12.2006, 12:15

Binchen

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Konvergenz einer Reihe
Schade...

ich habe schon über das Quotienten- und das Wurzelkriterium nachgedacht, aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter...

05.12.2006, 12:24

Ambrosius

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ich denke das quotientenkriterium sollte helfen

05.12.2006, 12:54

Binchen

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Konvergenz einer Reihe
Dann komme ich also auf

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{\frac{1}{n+1}}-1}{a^{\frac{1}{n} }-1} \end{eqnarray*}$

Habe schon versucht, jeweils den Ausdruck mit a auszuklammern, aber das bringt mir irgendwie nicht so viel...

05.12.2006, 13:00

Ambrosius

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klammer im zähler und nenner $\begin{eqnarray*} a^{1/n} \end{eqnarray*}$ aus

05.12.2006, 14:11

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Binchen
Dann komme ich also auf

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{\frac{1}{n+1}}-1}{a^{\frac{1}{n} }-1} \end{eqnarray*}$

Habe schon versucht, jeweils den Ausdruck mit a auszuklammern, aber das bringt mir irgendwie nicht so viel...

Ich glaube nicht, daß man mit dem Quotientenkriterium weit kommt. Wenn ich richtig gerechnet habe, ist der Grenzwert davon = 1.

Also es gilt doch:
$\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n} }-1 = e^{\frac{ln(a)}{n} }-1 \geq 1 + \frac{ln(a)}{n} - 1 \end{eqnarray*}$

Und siehe da, was haben wir?

05.12.2006, 15:15

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So klappt's für $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ muss man allerdings in die andere Richtung abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a}-1 = \frac{1}{\exp\left(-\frac{1}{n} \ln(a)\right)}-1 \leq \frac{1}{1-\frac{1}{n} \ln(a)}-1 = \frac{\ln(a)}{n-\ln(a)} \end{eqnarray*}$

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