Punktweise Konvergenz Funktionenfolge

12.04.2011, 21:37

Ravenlord

Punktweise Konvergenz Funktionenfolge

Kurze Frage zur folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f_n(x) := \begin{cases} 0, & 0 \leq x < 1 - \frac{1}{n} \wedge x=1 \\ n^2x-n^2 + n, & 1-\frac{1}{n} \leq x < 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert.

Ist es nicht so, dass sich das Intervall für $\begin{eqnarray*} f_n(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ immer mehr zu $\begin{eqnarray*} 0 \leq x < 1 \wedge x =1 \end{eqnarray*}$ verschiebt? Damit wäre die punktweise Konvergenz gleich erledigt. Bin mir aber unsicher dabei.

Könnt ihr mir helfen?

12.04.2011, 22:37

Roman Oira-Oira

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Ich vermute, Du hast nicht richtig verstanden, wie "punktweise Konvergenz" definiert ist.

Zunächst mußt Du eine Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abschätzen, d.h. eine Funktion, der sich die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bei wachsendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ annähert.

Für den Nachweis der punktweisen Konvergenz der Funktionenfolge mußt Du dann zeigen, daß für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ bei wachsendem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich schlage vor, Du liest nochmal die entsprechenden Definitionen nach, bevor Du weiterfragst. Siehe z.B. Wikipedia "Funktionenfolgen" bzw. "Punktweise Konvergenz".

Außerdem solltest Du für verschiedene $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einmal diverse $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ skizzieren, um zu sehen, wie sich die Funktionenfolge bei wachsendem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verhält und wie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aussehen könnte.

PS: Ich nehme an, in Deiner Definition soll in der ersten Zeile $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ (oder) anstelle von $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ (und) stehen - ansonsten macht Deine Definition keinen Sinn.

12.04.2011, 22:44

Ravenlord

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Danke für deine Antwort.

Ich habe schon verstanden, wie punktweise Konvergenz definiert ist, aber ich weiß nicht, wie man es für diese Funktionenfolge zeigen kann. Eine Idee steht ja oben.

Und natürlich soll es oder heißen oben.
Ich skizziere die Funktion mal. Was ich natürlich noch vergessen habe:
$\begin{eqnarray*} f_n: [0;1] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ - dort ist die Funktionenfolge definiert. Tut mir Leid.

Ich denke eben, dass f_n punktweise gegen die Funktion f(x) = 0, f:[0;1] -> R konvergiert. Scheint aber falsch zu sein. verwirrt

Habe vermutlich ein Brett vorm Kopf.

12.04.2011, 22:57

Roman Oira-Oira

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Kann heute leider nicht mehr weitermachen. Ich mache jetzt Feierabend und bin wohl morgen erst wieder da.

Sorry!

12.04.2011, 23:07

tmo

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Zitat:

Original von Ravenlord
Ich denke eben, dass f_n punktweise gegen die Funktion f(x) = 0, f:[0;1] -> R konvergiert. Scheint aber falsch zu sein. verwirrt

Das ist genau richtig. Und deine Argumentation ist auch nicht so verkehrt.

Nehme dir einfach ein beliebigies x aus [0,1] und wähle dann $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ so groß, dass $\begin{eqnarray*} x \in [0,1-\frac{1}{n_0}) \cup \{1\} \end{eqnarray*}$ ist. Denn was gilt dann für $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ ?

12.04.2011, 23:37

Ravenlord

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Danke für deine Antwort.

Für x aus diesem Intervall ist $\begin{eqnarray*} f_n(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

12.04.2011, 23:40

tmo

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Du müsstest jetzt für die Fertigstellung des Beweises eigentlich nur noch zeigen, dass du das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ auch so wählen kannst. Am einfachsten geht das, indem du es einfach angibst.

Natürlich bedarf es auch noch einer Fallunterscheidung, nämlich x = 1 (trivialer Fall) und x < 1

12.04.2011, 23:53

Ravenlord

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Danke.

Ist das so in Ordnung?

x = 1:

Wähle $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebig.

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x < 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x < 1 - \frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x-1 < - \frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n_0 > - \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$

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