Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB]
Zitat:
Sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler und U eine Untergruppe von G mit trivialem Schnitt. Zeige:



für einen geeigneten Homomorphismus


Wir verwenden die Resultate aus Komplexprodukt [ÜAB] .

Da N Normalteiler ist, gilt und NU ist eine Untergruppe von G. Dabei besitzen die Elemente von NU wegen wegen eine eindeutige Darstellung, siehe auch.

Da N Normalteiler ist, wählen wir als Operation die Konjugation, d.h.

,

Dass und ein Homomorphismus ist, hatten wir hier schon mal besprochen.

Es bleibt also zu zeigen:



Wie sehen die inneren Verknüpfungen aus? (*)





Der Unterschied steckt also im "Komma". Die Abbildung



ist wegen (*) ein Homomorphismus. Der ist offensichtlich surjektiv, und wegen der eindeutigen Darstellung der Elemente von NU auch injektiv.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB]
Vielleicht schaut noch mal jemand drüber. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB]
Zitat:
Original von tigerbine

Diese Zeile verstehe ich nicht, insbesondere warum du in einzelnen Schritten eine Art "Vertauschbarkeit" zwischen Elementten aus N und U voraussetzt...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB]
Geht es so?



Mich hatte der "Normalteiler Fehlerteufel" geritten.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB]
Ja, so hätte ich das auch gemacht... Freude
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB]
Super, wieder ein Häkchen. Augenzwinkern
 
 
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