affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
Zitat:
V sei ein Vektorraum und besteht aus allen Bijektionen mit . Zeige:

ist isomorph zu einem semidirekten Produkt


So, erste Frage. Durch die Matrixdarstellung nimmt man doch an, dass von endlicher Dimension ist. Weil da nur "Vektorraum" steht.

Es ist eine Untergruppe von für , denn neutrales Element (Einheitsmatrix) liegt in , wie mit und auch in liegen.

Mit habe ich nun meine Probleme... Soll das nun ein Normalteiler sein, oder ismorph zu einem Normalteiler von . verwirrt

Ich wollte "wie hier" vorgehen: Normalteiler, Untergruppe, semidirektes Produkt [ÜAB] , müßte dann noch bestimmen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
Zitat:
Original von tigerbine
So, erste Frage. Durch die Matrixdarstellung nimmt man doch an, dass von endlicher Dimension ist. Weil da nur "Vektorraum" steht.


Das ist zwar hier suggestiv in der Form notiert, aber ich glaube nicht, dass man zwingend endliche Dimension voraussetzen muss. Auch unendlichdimensionale Vektorräume haben ja eine Gruppe linearer bijektiver Abbildungen.

Um die Aufgabe einzusehen, betrachte die Abbildung mit als Element der affinen Gruppe.
Der Kern besteht offensichtlich aus allen Translationen des affinen Raums und ist somit natürlich isomorph zur additiven Gruppe des zugrundeliegenden Vektorraums, der ja gerade der Translationsraum des affinen Raums ist.
Den Schnitt des Translationsnormalteilers mit der als Untergruppe der affinen Gruppe erkennt man leicht und auch die Tatsache, dass die beiden die affine Gruppe erzeugen ist ziemlich klar.

Im endlichdimensionalen Fall kann man das ganze sehr schön einsehen, wenn man als Untergruppe der auffasst, indem man das Paar (linearer und Translationsanteil) als Matrix notiert. Man realisiert dann mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation die affine Gruppe und erkennt so die Operation der linearen Gruppe auf den Translationen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
Zitat:
,


Also der Kern [Normalteiler] ist und diese Gruppe bzgl. Verknüpfung von Abbildungen ist dann isomorph zur additiven Gruppe des Vektorraums V.

Der Schnitt mit besteht nur in der Einheitsmatrix, ist also trivial. Wie würde denn die Operation aussehen?

Da ist es hier nun hilfreich, dass man endlich dimensional angenommen hat und daher

Zitat:
Im endlichdimensionalen Fall kann man das ganze sehr schön einsehen, wenn man als Untergruppe der auffasst, indem man das Paar (linearer und Translationsanteil) als Matrix notiert. Man realisiert dann mit der gewöhnlichen Matrixmultiplikation die affine Gruppe und erkennt so die Operation der linearen Gruppe auf den Translationen.


Wie das konkret aussieht kommt ich im Moment nicht dahinter. Bin heute aber auch nicht in Form. traurig
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
, soll heißen operiert auf (der Translationsnormalteiler von oben) durch , also "ganz natürlich", wenn man beachtet.

Edit: Habe gerade nochmal nachgelesen. Es scheint mir so, dass man sich üblicherweise auf endlichdimensionale Räume einschränkt. Dann ist die Matrixdarstellung netterweise uneingeschränkt nutzbar.

Edit 2: Rechenfehler behoben!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
Muss es nicht



heißen "1" statt "2"...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Gut aufgepasst. Ich ändere es auch oben.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich es wohl verstanden. Danke.. Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
Zitat:
Original von jester.
, soll heißen operiert auf (der Translationsnormalteiler von oben) durch , also "ganz natürlich", wenn man beachtet.


Hi jester.

muss hier noch mal nachfragen. Wie sieht der Kern T denn in dieser Matrixschreibweise aus? Wenn das stimmt

Zitat:


dann landen wir mit obigen Rechnungen ja nicht wieder in T.... verwirrt



Habe da gerade eine Blockade.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist , so kann man mit diesen -Matrizen gerade die Translationen darstellen.

Die von dir dargestellte Multiplikation von zwei Matrizen entspricht jedoch schon einer Multiplikation im semidirekten Produkt. Die Operation der GL auf den Translationen übersetzt sich im semidirekten Produkt bzw. in der Matrixdarstellung in eine Konjugation (so funktioniert das semidirekte Produkt ja):

(Beachte, dass ein Element aus GL in dieser Darstellung b=0 haben muss, also keinen Translationsanteil hat. Das sieht du hier in der ersten Matrix.)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
Zitat:
Original von jester.
, soll heißen operiert auf (der Translationsnormalteiler von oben) durch , also "ganz natürlich", wenn man beachtet.


Steht es dann hier falsch? Oder für was stehen die Matrizen? Sollten die nur allgemein die Multiplikation erklären? Und G und T hattest du nicht mehr in Matrizenschreibweise übersetzt?

Es kann doch nicht eine Multilpikation im Semidirekten Produkt sein. Die beiden Faktoren sind doch gleicher Bauweise... Oder meintest du mit

Zitat:
Die von dir dargestellte Multiplikation von zwei Matrizen entspricht jedoch schon einer Multiplikation im semidirekten Produkt.


dies hier:

Zitat:


Gruß Wink
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir jetzt gerade nicht ganz sicher, was deine Frage ist, daher ein paar generelle Anmerkungen:
Die Gruppe der -Matrizen von dieser speziellen Form ist isomorph zu , die wiederum isomorph zu ist.
D.h. die Multiplikation zweier beliebiger Matrizer dieser Form entspricht der Multiplikation im semidirekten Produkt.
ist ein Normalteiler in der affinen Gruppe, mit ihm bauen wir das semidirekte Produkt. D.h. Konjugation lässt T invariant (im der affinen Gruppe). Beim Ausrechnen einer Konjugation (siehe oben) stellt sich heraus, dass im rechten Block gerade herauskommt, d.h. die GL(V) operiert auf T durch Anwenden, bzw. die Konjugation in der Matrixgruppe und das Anwenden einer linearen Abbildung auf eine Translation sind dasselbe.

Wir beantworten uns also quasi die Frage: Was passiert bei der Konjugation? Dass wir wieder in T landen, liegt in der Natur der Sache, aber jetzt wissen wir es noch genauer.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: affine Gruppe AGL(V) [ÜAB]
Zitat:
Original von jester.
, soll heißen operiert auf (der Translationsnormalteiler von oben) durch , also "ganz natürlich", wenn man beachtet.


Meine Frage war, warum du zu Beginn gerade diese Matrizen genommen hast. Was stellt die Rechnung dar? Welchen Teil von

Zitat:
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

In dieser Matrixmultiplikation sieht man die Abbildung im rechten oberen Block in der Form .

Allgemein haben wir eine Situation wie und darin dann . Dem entspricht hier und entspricht gerade .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, nun bekomme ich die Puzzleteile zusammen.
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