2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]

13.04.2011, 05:37

tigerbine

2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]

Zitat:

(i) Wenn die 2-Sylowgruppen von G(endlich) zyklisch sind und nicht trivial, dann hat G eine Untergruppe vom Index 2. Tipp: Betrachte die Parität von Permutationen

$\begin{eqnarray*} G \to G,~x \to gx \end{eqnarray*}$

Also da Permutationen als Tipp gegeben sind, wird was mit der symmetrischen Gruppe zu tun haben. Ich habe eine ähnlich Aufgabe gefunden, und versuche das mal anzupassen. verwirrt

Es gilt hier $\begin{eqnarray*} |G|=n=2^km \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ungerade. Nach Cayley kann man $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit einer Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S_G \end{eqnarray*}$ identifizieren. Dazu verwendet man gerade die im Tipp angegebenen Bijektionen:

$\begin{eqnarray*} \tau: G \to S_g,~g \mapsto \tau_g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau_g: G \to G,~x \mapsto gx \end{eqnarray*}$ .

Es ist also $\begin{eqnarray*} U:=\tau(G) \leq S_{2^km} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \cong G \end{eqnarray*}$ . Da die 2-Sylowgruppe zyklisch ist, enthält sie ein Element s der Ordnung $\begin{eqnarray*} o(s)=2^k \end{eqnarray*}$ und damit gilt auch $\begin{eqnarray*} o(\tau_s)=2^k \end{eqnarray*}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \tau_s \end{eqnarray*}$ ist des weiteren fixpunktfrei und daher das Produkt von m disjunkten Zyklen der Länge $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ , und somit das Produkt von $\begin{eqnarray*} 2^k-1 \end{eqnarray*}$ Transpositionen. Daher gilt $\begin{eqnarray*} sgn(\tau_s)=(-1)^{2^k-1}=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau_s \in U\setminus A_{2^km} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

U ist also eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe und enthält eine ungerade Permutation. Daraus wollen wir nun folgern, dass U einen Normalteiler mit Index 2 enthält.

Es ist $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ , daher ist $\begin{eqnarray*} UA_n \leq S_n \end{eqnarray*}$ (Komplexprodukt [ÜAB]) und es gilt $\begin{eqnarray*} A_n \neq UA_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_n \leq UA_n \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} [S_n:A_n]=2 \end{eqnarray*}$ muss gelten $\begin{eqnarray*} UA_n=S_n \end{eqnarray*}$ . Mit dem ersten Homomorphiesatz folgt für Gruppe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ mit Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und Normalteiler $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} U \cap A_n \triangleleft U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} UA_n/A_n \cong U/(U\cap A_n) \end{eqnarray*}$

Damit gilt $\begin{eqnarray*} 2=[S_n:A_n]=[U:A_n] \end{eqnarray*}$ und U besitzt eine Untergruppe vom Index 2. Da U isomorph zu G war, folgt die Behauptung.

Zitat:

(ii) Ist $\begin{eqnarray*} |G|=4n+2 \end{eqnarray*}$ , so hat G eine Untergruppe vom Index 2

Es ist $\begin{eqnarray*} |G|=4n+2 = 2(2n+1)=2m \end{eqnarray*}$ mit m ungerade. Die 2-Sylowgruppe hat hier die prime Ordnung 2 und ist daher zyklisch. Aus (i) folgt die Behauptung.

Zitat:

(iii) Es gibt Gruppen gerader Ordnung, welche keine Untergruppe vom Index 2 haben

Eine Untergruppe von Index 2 ist Normalteiler. Die Gruppe $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ hat die gerade Ordnung 60, ist aber einfach.

13.04.2011, 10:05

Mystic

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RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]
Wenn ich mich nicht irre, gehst du im Prinzip den Weg, der hier u.a. auch von mir vorgeschlagen wurde... Der Satz um den es hier geht ist doch genau der folgende

Satz: Jede Gruppe der Ordnung 2n, n ungerade, enthält einen Normalteiler der Ordnung n.

Wenn du bestätigst, dass ich damit recht habe, dann werde ich den (wieder einmal Augenzwinkern

) sehr viel einfacheren Beweis in obigen Thread einfügen, sobald ich etwas mehr Zeit habe als im Moment... Wink

13.04.2011, 13:42

Mystic

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RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]
Ok, ich mach das dann doch hier, denn man kann ja große Teile von deinem Beweis noch übernehmen. Was ich im Wesentlichen nicht verstehe, ist der Teil, der auf

Zitat:

Original von tigerbine
U ist also eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe und enthält eine ungerade Permutation. Daraus wollen wir nun folgern, dass U einen Normalteiler mit Index 2 enthält.

folgt.

Warum kann man da nicht einfach sagen, die Komposition

$\begin{eqnarray*} sgn \circ \tau: G \to \{-1,1\} \end{eqnarray*}$

ist unter den gegebenen Umständen ein Epimorphismus, ihr Kern hat daher automatisch den Index 2? Hab ich dabei was übersehen? verwirrt

13.04.2011, 15:34

tigerbine

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RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic
Satz: Jede Gruppe der Ordnung 2n, n ungerade, enthält einen Normalteiler der Ordnung n.

Das ist der Satz (mit entsprechendem Beweis), denn ich als Vorlage benutzt habe. Korrekt.

Zitat:

Warum kann man da nicht einfach sagen, die Komposition $\begin{eqnarray*} sgn \circ \tau: G \to \{-1,1\} \end{eqnarray*}$ ist unter den gegebenen Umständen ein Epimorphismus, ihr Kern hat daher automatisch den Index 2?

Im Buch wurde der Weg gegangen, den ich gepostet habe. Das muss nicht heißen, dass deins nicht geht. Augenzwinkern

Für mich wäre wichtig: Ist der von mir gepostet Weg korrekt? Dann können wir gerne die Spritsparvariante machen. Augenzwinkern

=================

edit:

Wir hatten $\begin{eqnarray*} \tau: G \to S_g,~g \mapsto \tau_g \end{eqnarray*}$ . Nun möchtest du das mit dem Signumhomomorphismus verknüpfen.

$\begin{eqnarray*} sgn \circ \tau: G \to \{-1,1\},~g \mapsto sgn(\tau_g) \end{eqnarray*}$

Nach der Vorarbeit wissen wir, es gibt ein $\begin{eqnarray*} s\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \mapsto -1 \end{eqnarray*}$ . Damit ist der Homomorphismus $\begin{eqnarray*} sgn \circ \tau \end{eqnarray*}$ surjektiv. => Kern ist ungleich G. Aus Ordnunggründen ist der Homomorphismus aber auch nicht injektiv, also Kern ungleich {e}. Somit ist der Kern ein echter Normalteiler von G.

Nun hänge ich, warum der Index dann 2 ist... Forum Kloppe

13.04.2011, 21:24

Mystic

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RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]
Sei $\begin{eqnarray*} N=Ker(sgn \circ \tau) \end{eqnarray*}$ und s ein Element, das nicht in N liegt, also dann auf -1 abgebildet wird.... Dann besteht doch $\begin{eqnarray*} G/N \cong (\{1,-1\},\cdot) \end{eqnarray*}$ nur aus den 2 Nebenklassen N und sN...

13.04.2011, 21:26

tigerbine

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RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]
Danke, runter von der Leitung...

Damit sind wir hier fertig, oder?