Ring End(A,+) [ÜAB]

13.04.2011, 06:57

tigerbine

Ring End(A,+) [ÜAB]

Zitat:

Sei (A,+) eine abelsche Gruppe und End(A,+) die Menge aller Automorphismen von (A.+). Zeige:

(i) End(A,+) ist mit der punktweisen Addition und der Komposition ° von Abbildungen ein Ring

1. End(A,+) ist mit der punktweisen Addition eine abelsche Gruppe, weil (A+) eine abelsche Gruppe ist

2. Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ und es gibt eine 1 (Identitätsabbildung) [Eins wird im Skript beim Ring mitverlangt]

3. Sei $\begin{eqnarray*} \phi, \tau, \mu \end{eqnarray*}$ aus End(A,+). Dann gilt für alle a aus A:

$\begin{eqnarray*} (\phi(\tau+\mu))(a)= \phi((\tau+\mu)(a)) = \phi(\tau(a)+\mu(a)) =\phi(\tau(a))+\phi(\mu(a)) = (\phi \tau)(a) + (\phi\mu)(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((\tau+\mu)\phi)(a)= (\tau+\mu)(\phi(a)) =\tau(\phi(a)) + \mu(\phi(a)) =(\tau \phi)(a) + (\mu \phi)(a) \end{eqnarray*}$

Distributivgesetze gelten

=> Ring.

Zitat:

(ii) (A,+) ist genau dann die additive Gruppe eines K-Vektorraums, wenn der Ring End(A,+) einen zu K isomorphen Teilkörper enthält.

Da fehlen mit gerade der Überblick, wie http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition nachzuweisen ist, ober ob man da die alternative Definition http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#...tive_Definition nehmen soll...

13.04.2011, 07:43

Mystic

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RE: Ring End(A,+) [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Da fehlen mit gerade der Überblick, wie http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition nachzuweisen ist, ober ob man da die alternative Definition http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#...tive_Definition nehmen soll...

Ja, die alternative Definition ist exakt das was du hier brauchst... Wegen der Einfachheit des Körpers K ist jeder Ringhomorphismus von K in End(A) entweder trivial oder eine Einbettung...

Was übrigens die Distributivgesetze in End(A) betrifft, so ist vielleicht die Beobachtung ganz wertvoll, dass die Homorphieeigenschaft von Elementen in End(A) nur für das linksdistributive Gesetz benötigt wird, das andere gilt von Haus aus...

13.04.2011, 17:42

tigerbine

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muss das nachvollziehen.

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} (A, + ) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe, so bildet die Menge $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}(A) \end{eqnarray*}$ der Endomorphismen von A mit punktweiser Addition als Addition, der Komposition von Abbildungen als Multiplikation und der Identität als Einselement einen Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Operiert der Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , d.h. gibt es einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi\colon K\to\operatorname{End}(A) \end{eqnarray*}$ von Ringen mit Einselement, so macht dies $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu einem $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

Die Äquivalenz zu obenstehender Definition ergibt sich, wenn man $\begin{eqnarray*} k*a=\phi_k(a) \end{eqnarray*}$ setzt.

Ein Körper hat nur die trivialen Ideale $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Der Kern eines Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: K \to R \end{eqnarray*}$ , ist ein Ideal von K. Daher ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ entweder trivial oder eine Einbettung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

====================================

Wie geht nun die Aufgabe. Man muss ja zwei Richtungen zeigen...

"<="

Sei $\begin{eqnarray*} \phi: K \to R \end{eqnarray*}$ eine Einbettung von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ enthält also einen zu $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ isomorphen Teilkörper. Diesen nehmen wir nun als Skalarpkörper $\begin{eqnarray*} \tilde K \end{eqnarray*}$ ? Und die (bekannten) Axiome prüft man mittels $\begin{eqnarray*} k*a=\phi_k(a) \end{eqnarray*}$ .

"=>" Sei $\begin{eqnarray*} (A, + ) \end{eqnarray*}$ die additive Gruppe eines K-Vektorraums. Dann ist durch die Axiome geregelt, wie die Skalarmultiplikation aussieht, d.h. wie K auf A operiert. Und das ist nicht trivial. Also folgt mit dem zur Operation gehörigen Ringhomomorphismus, dass R einen zu K isomorphen Teilkörper enthält.

13.04.2011, 21:50

Mystic

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RE: Ring End(A,+) [ÜAB]
Mir ist leider nicht klar, worum es hier überhaupt geht... Wenn es um folgenden Satz

Zitat:

(ii) (A,+) ist genau dann die additive Gruppe eines K-Vektorraums, wenn der Ring End(A,+) einen zu K isomorphen Teilkörper enthält.

geht, dann würde ich das so beweisen...

Enthält End(A,+) einen zu K isomorphen Teilkörper und ist $\begin{eqnarray*} \kappa:K \to End(A,+) \end{eqnarray*}$ die dazugehörige Einbettung, so ist dann natürlich durch

$\begin{eqnarray*} ka =\kappa_k(a) \quad (k \in K, a \in A) \end{eqnarray*}$

eine Skalarmultiplikation gegeben, welche A zu einem K-Vektorraum macht...

Ist umgekehrt A ein K-Vektorraum, so induziert das automatisch einen Ringhomomorhismus von K in End(A,+), wobei jedes k auf Endomorphismus $\begin{eqnarray*} x \mapsto kx \quad (x \in A) \end{eqnarray*}$ abgebildet wird... Der Kern dieser Abbildung ist aber ein Ideal von K, wegen der Einfachheit von K daher das Nullideal... Damit ist diese Abbildung tatsächlich eine Einbettung...

13.04.2011, 21:53

tigerbine

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RE: Ring End(A,+) [ÜAB]
Um den Satz ging es. Augenzwinkern

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Ring End(A,+) [ÜAB]

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