sigma-Algebra

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
sigma-Algebra
Meine Frage:
Zeigen Sie, dass für das Mengensystem eine - Algebra auf ist.

[Man nennt die Borel - - Algebra auf .]

Meine Ideen:
Also zunächst mal eine Verständnisfrage:
Mit ist doch die - Algebra auf gemeint? Das heißt , wobei irgendein Erzeuger der Borel - - Algebra auf ist, also beispielswiese für n beliebig oder im Fall von n=1 .

[Korrekt?]
------------------------

So, nun zu der Aufgabe selbst.
Zeigen muss ich ja:

(1)

(2)

(3) .

Zu (1):

Es ist ja .
A ja eine Borelmenge und zum Beispiel sind alle offenen Mengen Borelmengen. Das bedeutet doch, egal wie aussieht: Man findet doch ein A, das sozusagen umschließt und damit .

Kann man das so sagen?

Den Rest lasse ich erstmal offen.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sigma-Algebra
Zitat:
Original von Dennis2010
Meine Ideen:
Also zunächst mal eine Verständnisfrage:
Mit ist doch die - Algebra auf gemeint? Das heißt , wobei irgendein Erzeuger der Borel - - Algebra auf ist, also beispielswiese für n beliebig oder im Fall von n=1 .

[Korrekt?]
Ja
------------------------
Zitat:
Original von Dennis2010
Zu (1):

Es ist ja .
A ja eine Borelmenge und zum Beispiel sind alle offenen Mengen Borelmengen. Das bedeutet doch, egal wie aussieht: Man findet doch ein A, das sozusagen umschließt und damit .
Das stimmt, aber WIE findet man das A? Wie muss das A aussehen um zu erhalten?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Frage ist, wie A denn aussieht.

Vielleicht ?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Ja, die Frage ist, wie A denn aussieht.

Vielleicht ?
Augenzwinkern
Das ist prinzipiell richtig, denn und
Was ist mit 2) und 3) ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (2) und (3) überlege ich noch.

Zu (2):

Sei .
Dann ist A ja von der Form , also .

.

De Morgan:
nach (1).


Ich glaube nicht, dass das stimmt. Aber etwas Anderes fällt mir da nicht ein.


Edit:
Änderungsvorschlag:

nach (1)

Denn entweder ist doch (und das ist Teilmenge von ) oder es ist eine andere Teilmenge von , wenn nämlich .
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010

nach (1)

Denn entweder ist doch (und das ist Teilmenge von ) oder es ist eine andere Teilmenge von , wenn nämlich .
Ja, soweit korrekt.

Was ist mit 3) ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (3) tu' ich mich irgendwie schwer. Ich versuch' s trotzdem mal!

Zu (3):

Seien und







Ich würde mir jetzt exemplarisch mal die Vereinigung von ansehen:





Und ist entweder

a)
b)
c) oder
d) oder

Und es sind nun m.E. alle Schnitte aus und a), b), c), d) Elemente aus .

Dann dürfte auch die unendliche Vereinigung solcher Mengen in enthalten sein.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Bei (3) tu' ich mich irgendwie schwer. Ich versuch' s trotzdem mal!

Zu (3):

Seien und





Du musst jetzt zeigen dass es für unendliche Vereinigungen gilt, es genügt nicht, dies nur für endliche zu zeigen.

Ich habe deine Bezeichnung mal etwas geändert

Betrachte mal

Und wende darauf mal die Gesetze von de'Morgan an
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Betrachte mal

Und wende darauf mal die Gesetze von de'Morgan an


Tut mir leid, ich weiß nicht, wie ich die Regeln hier anwenden kann.

Du meinst doch mit "de Morgan' sche Regeln":

1.) und

2.) ?

Ich sehe nicht, wie man 1.) oder 2.) zur Anwendung bringen kann.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Zitat:
Original von Math1986
Betrachte mal

Und wende darauf mal die Gesetze von de'Morgan an


Tut mir leid, ich weiß nicht, wie ich die Regeln hier anwenden kann.

Du meinst doch mit "de Morgan' sche Regeln":

1.) und

2.) ?

Ich sehe nicht, wie man 1.) oder 2.) zur Anwendung bringen kann.
Wieso siehst du das nicht
Die erstere ist anwendbar, diese Regeln gelten auch für überabzählbar viele Mengen
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, was das mit den Komplementen zu tun hat, die in der Regel benutzt werden.

Edit:

Meinst Du es so:

Es ist immer auch das Komplement enthalten nach (2).
Kann man sich deswegen stattdessen auch die Vereinigung der Komplemente ansehen?

Ich meine:



Und der Durchschnitt über die Komplemente ist ja in enthalten, da ja jedes nach (2).

Sei also der Übersicht halber , d.h. C ist "ein ganz normales" Element, das in liegt.

Dann ist aber auch in , da ja immer jeweils das Komplement enthalten ist nach (2).
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das sieht gut aus Freude
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Hilfe!
Ich bin froh, dass ich mal was hinbekommen habe und nur ein paar "Anstupser" von Dir brauchte.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, leider wurde (3) als "falsch" bewertet. 2 Punkte gingen flöten.

Ich weiß aber nicht so wirklich, wieso.

Jemand eine Idee?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Hm, leider wurde (3) als "falsch" bewertet. 2 Punkte gingen flöten.

Ich weiß aber nicht so wirklich, wieso.

Jemand eine Idee?
Keine Ahnung, frag doch den Korrektor.
Ohne die Abgabe zu sehen kann ich das wirklich nicht sagen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, werde ich tun.

Ich dachte nur, daß der Fehler vllt. offensichtlich wäre.

Ich sehe da nämlich (bis jetzt) keinen.
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