Beweis Untergruppe

13.04.2011, 16:02

Pustefix91

Beweis Untergruppe

Hallo Leute,

wollte wissen, ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe:

Sei $\begin{eqnarray*} V\subseteq G \end{eqnarray*}$ eine nicht-leere Teilmenge der Gruppe G. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen Äquivalent sind:
(i) V ist eine Untergruppe von G
(ii) $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ .

Bew: $\begin{eqnarray*} <br /> (i) \Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} b \in V \Rightarrow \exists b^{-1} \in V: b*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} a \in V \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (ii) \Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$ : Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} a = b \Rightarrow b*b^{-1} = e \in V \Rightarrow (U2), (U3) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} c \in V \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} b^{-1} = (c^{-1})^{-1} = c \Rightarrow a*b^{-1} \in V \Rightarrow (U1) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? verwirrt

Schönen gruß Pustefix91

13.04.2011, 16:31

Merlinius

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RE: Beweis Untergruppe

Zitat:

Original von Pustefix91
Hallo Leute,

wollte wissen, ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe:

Sei $\begin{eqnarray*} V\subseteq G \end{eqnarray*}$ eine nicht-leere Teilmenge der Gruppe G. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen Äquivalent sind:
(i) V ist eine Untergruppe von G
(ii) $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ .

Bew: $\begin{eqnarray*} <br /> (i) \Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} b \in V \Rightarrow \exists b^{-1} \in V: b*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} a \in V \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein bisschen seltsam. Also sei $\begin{eqnarray*} a, b \in V \Rightarrow b^{-1} \in V \Rightarrow a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ , da die (Unter)Gruppe unter der Operation * abgeschlossen ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (ii) \Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$ : Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} a = b \Rightarrow b*b^{-1} = e \in V \Rightarrow (U2), (U3) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} c \in V \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} b^{-1} = (c^{-1})^{-1} = c \Rightarrow a*b^{-1} \in V \Rightarrow (U1) \end{eqnarray*}$

Das ist leider auch ein bisschen seltsam unglücklich

Ich denke Du meinst am Anfang "Es gelte $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ "? Ansonsten verstehe ich nicht, was Du damit sagen willst. Oder Du willst vielleicht sagen "Sei $\begin{eqnarray*} a \in V \end{eqnarray*}$ , dies ist möglich, da V nichtleer. Setze $\begin{eqnarray*} b = a \end{eqnarray*}$ . Dann... $\begin{eqnarray*} e \in V \end{eqnarray*}$ "? Aber dass e in V ist, ergibt sich auch von alleine, wenn Du zeigst, dass V unter * abgeschlossen ist und jedes Element aus V ein Inverses in V hat (da V nicht-leer). Wenn Du allerdings zuerst zeigst, dass e in V ist, dann kannst Du dies auch benutzen, um die Existenz der Inversen abzuleiten. Von daher ist das schon okay, wenn Du vernünftig weitermachst.

Ich weiß nicht, was bei Dir U1, U2, U3 sind. Jedenfalls erkenne ich hier nicht, dass Du gezeigt hättest, dass die Menge V unter der Verknüpfung * abgeschlossen ist.

Ansonsten musst Du halt zeigen, dass die Inversen aller Elemente aus V wieder in V sind. Hieraus:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} c \in V \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} b^{-1} = (c^{-1})^{-1} = c \Rightarrow a*b^{-1} \in V \Rightarrow (U1) \end{eqnarray*}$

geht dies nicht vor. Am Ende müsste stehen $\begin{eqnarray*} c^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Oder was willst Du hier genau zeigen? Außerdem taucht hier auch ein a auf, welches nicht definiert ist? Oder soll dies das a von oben sein? Dann ist mir auch nicht klar, was dies dort tut.

13.04.2011, 17:03

Pustefix91

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RE: Beweis Untergruppe

Zitat:

Original von Merlinius

Zitat:

Das ist leider auch ein bisschen seltsam unglücklich

Ich denke Du meinst am Anfang "Es gelte $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ "?

Ja, genau das wollte ich damit sagen.

Zitat:

Ich weiß nicht, was bei Dir U1, U2, U3 sind. Jedenfalls erkenne ich hier nicht, dass Du gezeigt hättest, dass die Menge V unter der Verknüpfung * abgeschlossen ist.

(U1)-(U3) sind die Untergruppen Axiome. (U1): für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in V: a*b \in V \end{eqnarray*}$ , (U2): das neutrale Element e von G liegt in V, (U3): zu jedem a liegt auch das inverse $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ in V. Zu der Abgeschlossenheit... Wie mache ich das? Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ . Zeige: $\begin{eqnarray*} a*b \in V \end{eqnarray*}$ . Wie macht man nun weiter? Ich weiß ja nur, dass $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ gilt. Wie leitet man daraus nun ab, dass auch $\begin{eqnarray*} a*b \in V \end{eqnarray*}$ gilt?

Zitat:

Ansonsten musst Du halt zeigen, dass die Inversen aller Elemente aus V wieder in V sind. Hieraus:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} c \in V \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} b^{-1} = (c^{-1})^{-1} = c \Rightarrow a*b^{-1} \in V \Rightarrow (U1) \end{eqnarray*}$

Das a sollte von oben sein. Damit wollte ich zeigen, dass eben $\begin{eqnarray*} a*c \in V \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} c = (c^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt. Aber wenn man das so nicht zeigen kann, wie macht man es dann verwirrt

Schönen gruß Pustefix91

13.04.2011, 17:27

Merlinius

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RE: Beweis Untergruppe
Du solltest die Axiome am besten in kluger Reihenfolge zeigen.

U2) $\begin{eqnarray*} e \in V \end{eqnarray*}$ habe ich ja oben schon erläutert.

U3) Versuche daraus zu schließen, dass gilt $\begin{eqnarray*} a \in V \Rightarrow a^{-1} \in V \end{eqnarray*}$

Benutze dies, um U1) zu zeigen. Übrigens sind die Bezeichnungen U1 bis U3 nicht universell, weder in der Reihenfolge, noch in der Formulierung. Z.B. kann man äquivalent V nichtleer fordern und stattdessen auf dein U2 verzichten.

Zitat:

Ansonsten musst Du halt zeigen, dass die Inversen aller Elemente aus V wieder in V sind. Hieraus:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} c \in V \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} b^{-1} = (c^{-1})^{-1} = c \Rightarrow a*b^{-1} \in V \Rightarrow (U1) \end{eqnarray*}$

Schönen gruß Pustefix91

Achso, das soll die Abgeschlossenheit bzgl. * zeigen? Wenn ja, musst Du zwei beliebige Elemente nehmen (und nicht das feste a von oben) und zeigen, dass deren Verknüpfung wieder in V liegt. Auch wenn das a oben mehr oder weniger beliebig gewählt war, sollte man es hier sauber formulieren.

"Setze $\begin{eqnarray*} b^{-1} := ... \end{eqnarray*}$ " schreibt man auch eigentlich so nicht. Fang sauber an:

Seien $\begin{eqnarray*} a, b \in V \end{eqnarray*}$ . Nach U3) (s.o.) gilt dann $\begin{eqnarray*} b^{-1} \in V \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} ... \Rightarrow a*b \in V \end{eqnarray*}$

Achte darauf, dass in jedem Schritt klar hervorgeht, womit Du anfängst, was Du unterwegs benutzt und wo Du hinwillst. Das gilt allgemein für jede Aufgabe. Z.B. so ein Beweis zu U1) sollte immer den Aufbau:

Seien $\begin{eqnarray*} a, b \in V ... \Rightarrow ... \Rightarrow a*b \in V \end{eqnarray*}$

haben.

14.04.2011, 12:40

Pustefix91

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RE: Beweis Untergruppe

Zitat:

Original von Merlinius
Du solltest die Axiome am besten in kluger Reihenfolge zeigen.

U2) $\begin{eqnarray*} e \in V \end{eqnarray*}$ habe ich ja oben schon erläutert.

U3) Versuche daraus zu schließen, dass gilt $\begin{eqnarray*} a \in V \Rightarrow a^{-1} \in V \end{eqnarray*}$

Benutze dies, um U1) zu zeigen. Übrigens sind die Bezeichnungen U1 bis U3 nicht universell, weder in der Reihenfolge, noch in der Formulierung. Z.B. kann man äquivalent V nichtleer fordern und stattdessen auf dein U2 verzichten.

Du schreibst du hast U2) oben schon erläutert, aber dazu muss ich erst mal U3) , U1) gezeigt haben. Wie macht man das denn? Du schreibst ich kann das aus U2) zeigen, aber da ich U2) nicht ohne U1) und U3) zeigen kann???

Zitat:

Ansonsten musst Du halt zeigen, dass die Inversen aller Elemente aus V wieder in V sind. Hieraus:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} c \in V \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} b^{-1} = (c^{-1})^{-1} = c \Rightarrow a*b^{-1} \in V \Rightarrow (U1) \end{eqnarray*}$

Schönen gruß Pustefix91

14.04.2011, 13:50

Pustefix91

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Schon gut. Das ganze hat sich erledigt... Danke dir dennoch smile

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