Variablen bestimmen |
| 13.04.2011, 16:03 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Variablen bestimmen Hallo, das ist meine Aufgabe: Paarlauf Addiert man die Summe, die Differenz (>0), das Produkt und den Quotienten (>1) der beiden natürlichen Zahlen a und b (a>b), so erhält man 243. Ermittle die beiden Zahlen a und b. Einen allgemeinen Ansatz habe ich noch gefunden, bin aber dann steckengeblieben. Für Eure Hilfe schon einmal Danke im voraus! Meine Ideen: Meine Lösungsidee wäre: a+b + a-b + a*b + a/b = 243 2a + a*b + a/b = 243 Aber wie kann ich jetzt a und b ausrechnen? |
||||
| 13.04.2011, 16:26 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Löse die Gleichung doch zunächst mal nach a auf. 
|
||||
| 13.04.2011, 16:26 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Versuch doch mal deine untere Gleichung etwas weiter umzuformen, ergo nach einer Variable aufzulösen. Allerdings würde mich mal sehr interessieren wo du diese Aufgabe herhast. Falls es sich um eine Wettbewerbsaufgabe handeln sollte [und danach sieht die Aufgabe ziemlich stark aus] wirst du hier keine Hilfe bekommen. |
||||
| 13.04.2011, 16:31 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit Wettbewerb hat das in meinen Augen eher wenig zu tun 
Wie gesagt einfach nur nach a auflösen und dann muss man halt noch eine kleine Schlussfolgerung treffen. |
||||
| 13.04.2011, 16:49 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist keine Wettbewerbsaufgabe. Ich habe u.a diese Aufgabe in der Nacharbeit 
von meinem Mathelehrer bekommen. |
||||
| 13.04.2011, 16:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das dein einziger Kommentar oder kommt da noch was ? |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 13.04.2011, 16:54 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, da kommt jetzt was: Nach a aufgelöst ergibt sich: a+b + a-b + a*b + a/b = 243 2a + a*b + a/b = 243 a(2+b+1/b)=243 |
||||
| 13.04.2011, 16:56 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darf ich das jetzt in die oben erstellte Gleichung einsetzen? |
||||
| 13.04.2011, 17:00 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, dann kommt einfach so etwas wie 5=5 heraus.
|
||||
| 13.04.2011, 17:03 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schonmal gut 
Nun forme nochmal den Nenner etwas um, sprich bringe den Nennerterm auf einen Nenner (oder erweitere den ganzen Bruch mit b). |
||||
| 13.04.2011, 17:11 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Nennerterm mit b erweitert wäre: |
||||
| 13.04.2011, 17:13 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prima und nun beachte noch, dass a und b ja natürliche Zahlen sein sollen... |
||||
| 13.04.2011, 17:26 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es würde sich dann ja folgender Term ergeben: , also Da a ja ebenfalls natürlich sein muss, muss 243 eine Quadratzahl ergeben, deren Wurzel sich durch (b+1) ohne Rest teilen lässt. |
||||
| 13.04.2011, 17:27 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorsicht 
solch eine Bruchumformung gibt es nicht!Überlege dir doch mal, welche Eigenschaften die Zahl b haben muss, damit der Bruch eine natürliche Zahl wird! |
||||
| 13.04.2011, 17:33 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da rslz offenbar dringend übernehmen will bin ich raus hier 
|
||||
| 13.04.2011, 17:37 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab grad sonst nichts zu tun 
|
||||
| 13.04.2011, 17:38 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
243 ist durch 9 teilbar, das kann ich ausnutzen, wenn ich für b=2 festlege. Für a ergibt sich dann a=54. Aber ich habe noch einmal eine Frage: Du schreibst
Und was ist mit "teilweise radizieren"? |
||||
| 13.04.2011, 17:45 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Somit hast du ja bereits eine Lösung gefunden, aber es gibt noch eine andere. Und wenn du diese gefunden hast muss natürlich auch noch ein Nachweis her, das es die einzigen beiden Lösungen sind.
Teilweises radizieren ist das ziehen von einzelnen Faktoren aus der Wurzel, wie z.Bsp. aber niemals niemals nie: Schließlich ist das 16:9 Bildformat auch nicht dasselbe wie 4:3
|
||||
| 13.04.2011, 18:00 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die zweite Lösung wäre: b=8 a=24 243=3hoch5, d. h. ich muss den Nenner so ergänzen, dass ich für b+1 eine Dreierpotenz erhalte, die aber auch in Verbindung mit dem (...)² 3hoch5 nicht überschreitet. Dies ist nur für zwei Fälle möglich: a) für 3hoch1 in der Klammer und somit 3² im gesamten Nenner b) für 3² in der Klammer und somit 3hoch4 im gesamten Nenner 3³ in der Klammer ist schon nicht mehr möglich, da sich für den gesamten Nenner dann 3hoch6 ergeben würde und sich somit, da ja im Zähler keine weitere 3 hinzukommt, bei der Division ein Rest ergeben würde. |
||||
| 13.04.2011, 18:04 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
perfekt!, das einzige, was fehlt ist die Erklärung, warum b+1 eine 3er Potenz sein muss, aber ich denke, das hast du schon gemacht und nur nicht hier geschrieben
|
||||
| 13.04.2011, 18:07 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, dass b+1 eine 3er Potenz sein muss, da ja 243=3hoch5 ist und beim Dividieren kein Rest bleiben darf, da ja a eine natürliche Zahl sein muss. |
||||
| 13.04.2011, 18:08 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der Zähler ist aber 243*b, nicht nur 243. Worauf ich hinauswollte ist, das man dazusagen muss das b und b+1 teilerfremd sind und so b+1 eine 3er-Potenz sein muss |
||||
| 13.04.2011, 18:10 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, klar, muss ja so sein wegen b+1, oder? |
||||
| 13.04.2011, 18:12 | rslz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen sind immer teilerfremd, dies ist einer der Grundssätze der Zahlentheorie |
||||
| 13.04.2011, 18:17 | mathe=) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, das muss ich mir merken. (hatten wir so in der Schuele noch nicht formuliert) Vielen Dank für Deine Hilfe bei der Aufgabe! :-) |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
