Mengenlehre: Abbildung vs. Funktion

13.04.2011, 16:03

Regine19

Mengenlehre: Abbildung vs. Funktion

Hallo ihr

,

ich sitze hier vor der Frage was der Unterschied zwischen Abbildungen und Funktionen ist. Ich habe schon eine Weile gegoogelt und überall werden die beiden Begriffe über einen Kamm geschert. Aber nicht bei meinem Prof, zumindest noch nach meinem aktuellen Verständnis!

Hier die Definition für die Abbildung:

Zitat:

Eine Abbildung f von A nach B ist einre Relation zwischen A und B mit: zu jedem $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ existiert genau ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a,b)\in f \end{eqnarray*}$ .
[...]

Und gleich ein paar Zeilen weiter drunter beginnt die Definition für Injektvität, Surjektivität und Bijektivität mit folgendem Satz:

Zitat:

Eine Abbildung (Funktion, Transformation): f: A->B heißt ...

Nun verstehe ich leider nicht, wie man erst behaupten kann das jedes a (ich nehme an ein Urbild) genau ein b (wohl das Bild(?)) braucht. Und zwei Zeilen später erklärt man dann fröhlich bei der Injektivität, dass ein Bild höchstens ein Urbild braucht, also ein Urbild auch bildlos bleiben kann.

Könnt ihr die Sache entwirren?

Danke,
Regine

13.04.2011, 16:33

Leopold

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Da ist kein Widerspruch. In der Definition von Abbildung (oder hier gleichwertig: Funktion) wird nur verlangt, daß zu jedem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ existiert. Vom Umgekehrten ist nirgendwo die Rede.

Wenn aber zusätzlich erfüllt ist, daß zu jedem $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auch ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ existiert, dann nennt man die Funktion surjektiv (und nicht injektiv, wie Du es sagst).
Von Injektivität spricht man, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ höchstens ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ existiert.
Gehört also zu jedem $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , dann ist die Funktion surjektiv und injektiv, mithin bijektiv.

Nimm dir deine Unterlagen noch einmal genau vor. Und lies genau. Sehr genau.

13.04.2011, 16:42

Regine19

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Danke Leopold. Ich glaube es ist mir ein Stück klarer geworden.

Ich versuche das ganz mal etwas plastischer zu umschreiben. Auch bei den ganzen Injektivität, Surjektivität und Bijektivitätseigenschaften bleibt die Bedingung erhalten, dass es für jedes a ein b geben muss.
Nur kann die Menge B potenziell weniger bzw. mehr Elemente enthalten, sodass die Abbildung dann z.b. injektiv oder surjektiv wird.

Bei der ersten Definition betrachten wir die Abbildung von der Seite der Urbilder aus beim zweiten Punkt blicken wir von den Bildern auf die Urbilder zurück?

Ich denke ich habs smile

!

Klasse! Danke!

Regine

13.04.2011, 17:59

Leopold

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Zitat:

Original von Regine19
Auch bei den ganzen Injektivität, Surjektivität und Bijektivitätseigenschaften bleibt die Bedingung erhalten, dass es für jedes a ein b geben muss.

Mehr noch: es muß zu jedem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ geben.

Diagramme können bei der Vorstellung helfen.

Zeichne zwei Schlaufen, die die Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ repräsentieren, und Punkte darin, die die Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ symbolisieren. Jetzt gehen Pfeile von den Elementen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ weg und enden auf den Elementen von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

1. Von jedem Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ muß ein Pfeil weggehen. Es darf aber auch nur ein Pfeil von ihm weggehen. Dann spricht man von einer Funktion.

2. Wenn jedes Element von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von einem Pfeil getroffen wird, dann nennt man die Funktion surjektiv.

3. Wenn auf keinem Element von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mehr als 1 Pfeil eintrifft, dann nennt man die Funktion injektiv.

4. Wenn jedes Element von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von einem Pfeil getroffen wird, aber auch nur von einem, dann nennt man die Funktion bijektiv.

Du wirst schnell feststellen, daß bei endlichen Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Bijektivität nur eintreten kann, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dieselbe Anzahl von Elementen enthalten.

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