Rechenschritte Ableitungsfunktion 1/(wurzel x)

13.04.2011, 16:58

metalhead

Rechenschritte Ableitungsfunktion 1/(wurzel x)

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich hänge gerade beim Auflösen bzw. Weiterrechnen der Funktion $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe den Term mit der Grenzwertbestimmung erweitert und stehe schließlich bei folgendem:

$\begin{eqnarray*} F'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{(\sqrt[]{x}-\sqrt[]{x+h})}{\sqrt[]{x+h}*\sqrt[]{x})}}{h} \end{eqnarray*}$

Nur hab ich keinen blassen Schimmer wie ich das jetzt weiter auflösen soll! (bzw. wie ich wiederum auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[]{x}} \end{eqnarray*}$ komme)

Hilfe bitte! smile

13.04.2011, 17:13

Mulder

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RE: Rechenschritte Ableitungsfunktion 1/(wurzel x)
Erweitere den Bruch mit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x}+\sqrt{x+h} \end{eqnarray*}$

Du kannst dann die dritte binomische Formel benutzen. Augenzwinkern

13.04.2011, 19:09

metalhead

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ok nach 2 stunden des intensiven grübelns habe ich als resultat: 10 seiten verkritzeltes papier, einen rauchenden kopf und ich kann keine x-e mehr sehen:P

Also irgendwo nach dem erweitern und dem anschließenden kürzen hängts.
könnte sich bitte jemand meiner erbarmen und mir die schritte erklären die mich letztlich zum ziel führen?

13.04.2011, 19:15

Mulder

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Zitat:

Original von metalhead
Also irgendwo nach dem erweitern und dem anschließenden kürzen hängts.

Schwer vorstellbar, denn danach ist man eigentlich fertig. Wenn du alles richtig gemacht hast, ist nach dem Erweitern und Kürzen der Grenzübergang

$\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$

problemlos möglich. Ansonsten solltest du vielleicht mal aufzeigen, wie weit du bist.

13.04.2011, 20:00

metalhead

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als 1. Zähler des Doppelbruches steht: x-x+h also h (was später beim kürzen verschwinden sollte)

als nenner des ersten bruches
$\begin{eqnarray*} (\sqrt {x}*\sqrt {x+h})*(\sqrt {x}+\sqrt {x+h}) \end{eqnarray*}$

un als hauptnenner immer noch h...aber jetzt wie weiter?

13.04.2011, 20:10

Mulder

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Zitat:

Original von metalhead
als 1. Zähler des Doppelbruches steht: x-x+h also h

Nein, da steht x-(x+h)=x-x-h=-h, das ist ein Unterschied!

Zitat:

Original von metalhead
als nenner des ersten bruches
$\begin{eqnarray*} (\sqrt {x}*\sqrt {x+h})*(\sqrt {x}+\sqrt {x+h}) \end{eqnarray*}$

un als hauptnenner immer noch h...aber jetzt wie weiter?

Na, kürzen. Du hast doch jetzt

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+h})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})}}{h} = \lim_{h \to 0} \, \frac{-h}{h \cdot (\sqrt{x} \cdot \sqrt{x+h})(\sqrt{x}+\sqrt{x+h})} \end{eqnarray*}$

Und dann h=0 einsetzen... Augenzwinkern

13.04.2011, 21:36

metalhead

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vielen, vielen,vielen lieben dank! Big Laugh

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