Logarithmen

13.04.2011, 17:31

134340

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Logarithmen

Da mein alter Logarithmen Thread zu groß geworden ist, eröffne ich hier noch mal einen neuen.
Ich habe nur eine kurze Frage:
Wie soll ich nachweisen/beweisen, dass für $\begin{eqnarray*} 0,4 < lg(3) < 0,5 \end{eqnarray*}$ die Ungleichungskette erfüllt ist?

13.04.2011, 17:36

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$\begin{eqnarray*} x=lg(10^x) \end{eqnarray*}$

13.04.2011, 17:46

134340

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Was nützt mir $\begin{eqnarray*} x=lg(10^x) \end{eqnarray*}$ . Tut mir leid ich steh gerad echt aufm Schlauch Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2011, 17:48

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setze für x 0,4 sowie 0,5 ein und berechne das 10^x mit dem Taschenrechner
==> lg(...)<lg(3)<lg(...) - aufgrund der Monotonie der Logarithmus-Funktion bringt dich das weiter.

13.04.2011, 17:58

134340

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Also hab ich dann $\begin{eqnarray*} lg(2,5) < lg(3) < lg(3,2) \end{eqnarray*}$ . Ist die Ungleichungskette hiermit bewiesen?

13.04.2011, 18:00

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Der Logarithmus ist, wie schon angedeutet, streng monoton steigend, also ja.

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13.04.2011, 18:03

134340

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Gut danke. smile

smile

Meld dich doch auch an, du scheinst etwas von Mathe zu verstehen. Freude

Freude

13.04.2011, 18:11

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Danke für das Kompliment, aber solange man auch unregistriert schreiben kann sehe ich keine Notwendigkeit, mir noch ein Passwort merken zu müssen smile

smile

13.04.2011, 18:17

134340

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Es hat diverse Vorteile angemeldet zu sein. Naja musst du wissen. Falls du dich anmeldest, lass es mich wissen Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.04.2011, 18:21

Huggy

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Zitat:

Original von Nutzername
setze für x 0,4 sowie 0,5 ein und berechne das 10^x mit dem Taschenrechner
==> lg(...)<lg(3)<lg(...) - aufgrund der Monotonie der Logarithmus-Funktion bringt dich das weiter.

Wenn man bei dieser Aufgabe $\begin{eqnarray*} 10^{0.4} \end{eqnarray*}$ mit dem Taschenrechner berechnen dürfte, dann dürfte man auch gleich $\begin{eqnarray*} \lg 3 \end{eqnarray*}$ mit dem Taschenrechner berechnen. Das kann nicht der gesuchte Beweis sein. Es geht sicher darum, den Beweis mittels einer Rechnung zu führen, die man mit der Hand oder im Kopf durchführen kann.

Der erste Schritt ist schon die Äquivalenz der zu beweisenden Ungleichung zu

$\begin{eqnarray*} 10^{0.4}<10^{\lg 3}=3<10^{0.5} \end{eqnarray*}$

Das kann man auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} 10^{\frac{4}{10}}<3<10^{\frac{5}{10}} \end{eqnarray*}$

wobei man im Exponenten noch kürzen kann. Und das kann man weiter so umformen, dass es auf einfache Rechnungen mit ganzen Zahlen führt.

13.04.2011, 18:27

134340

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Aber wie bekomme ich mit diesem Verfahren die verschiedenen Nachkommastellen raus, wenn ich im Kopf rechne?

13.04.2011, 18:30

Huggy

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Du brauchst keine Nachkommastellen! Du musst die Ungleichung weiter umformen, bis nur Rechnungen mit ganzen Zahlen dastehen.

13.04.2011, 18:42

134340

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Ich soll also $\begin{eqnarray*} 10^{\frac{4}{10}} \end{eqnarray*}$ so vereinfachen, dass es eine ganze Zahl ist? Selbst wenn ich das kürze komme ich nur auf $\begin{eqnarray*} 10^{\frac{2}{5}} \end{eqnarray*}$ und das is ja leider keien ganze Zahl.

13.04.2011, 18:49

Huggy

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Nein, das geht nicht. Du sollst die Ungleichungen weiter umformen. Ich helfe dir mal bei der rechten Ungleichung weiter. Für die wissen wir inzwischen, dass es genügt zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} 3<10^{\frac{5}{10}}=10^{\frac{1}{2}}=\sqrt {10} \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich das schon ein wenig vereinfacht. Fällt dir jetzt zu

$\begin{eqnarray*} 3<\sqrt {10} \end{eqnarray*}$

eine Umformung ein, die die Wurzel beseitigt?

13.04.2011, 18:54

134340

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Wenn ich jetzt mit 2 potenziere, habe ich $\begin{eqnarray*} 3^2<10 \end{eqnarray*}$

13.04.2011, 18:59

Huggy

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Richtig!
Und dass diese Ungleichung richtig ist, kann man sicher im Kopf rechnen. Und da alle Umformungen bis hierhin Äquivalenzumformungen für Ungleichungen waren, ist mit der Richtigkeit der letzten Zeile auch die ursprüngliche Ungleichung bewiesen.

Mit der linken Ungleichung kannst du ganz ähnlich vorgehen.

13.04.2011, 19:01

134340

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Wenn ich jetzt die linke Ungleichung berechne, muss ich dann $\begin{eqnarray*} 10^\frac{4}{10} < 3^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 10^\frac{4}{10} < 3 \end{eqnarray*}$ berechnen?

13.04.2011, 19:03

Huggy

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Du musst

$\begin{eqnarray*} 10^{\frac{4}{10}}<3 \end{eqnarray*}$

beweisen. So weit waren wir bei der linken Seite gekommen.

13.04.2011, 19:11

134340

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gut, also $\begin{eqnarray*} 10^{\frac{2}{5}}< 3 \Rightarrow \sqrt[5]{10^2} \end{eqnarray*}$

13.04.2011, 19:16

Huggy

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Zitat:

Original von 134340
gut, also $\begin{eqnarray*} 10^{\frac{2}{5}}< 3 \Rightarrow \sqrt[5]{10^2} \end{eqnarray*}$

Das ist unvollständig hingeschrieben. Du meinst sicher

$\begin{eqnarray*} 10^{\frac{2}{5}}< 3 \Leftrightarrow \sqrt[5]{10^2}<3 \end{eqnarray*}$

Und der Doppelpfeil ist wichtig. Aus der rechten Seite dieser Ungleichung folgt auch die linke Seite.
Jetzt kannst du den Term unter der Wurzel ausrechnen. Und dann musst du nur noch die Wurzel beseitigen.

13.04.2011, 19:21

134340

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$\begin{eqnarray*} 10^{\frac{2}{5}}< 3 \Leftrightarrow \sqrt[5]{10^2} < 3 \Leftrightarrow 100 < 3^5 \end{eqnarray*}$ so, und jetzt, muss ich jetzt die linke und die rechte Ungleichung zusammenfassen?

13.04.2011, 19:26

Huggy

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Jetzt bist du fertig, wenn du dich davon überzeugt hast, dass die letzte Ungleichung stimmt. Aus ihr folgt nämlich, da auch hier alles Äquivalenzumformungen waren, die linke Seite der ursprünglich zu beweisenden Ungleichung.

Die gemeinsame Umformung der beiden ursprünglichen Ungleichungen ging nur bis zu einem gewissen Punkt.

13.04.2011, 19:27

134340

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Achso, danke für deine schnelle Hilfe Freude

Freude

smile

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