Direkter Beweis für die Irrationalität von Wurzel(2) möglich?

14.04.2011, 08:04	Quastenflosser	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkter Beweis für die Irrationalität von Wurzel(2) möglich? Meine Frage: Hallo, die Irrationalität von Zahlen wie $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ wird immer indirekt bewiesen. Das ist auch naheliegend, da man die Negation eines Prädikats beweisen muss ("...ist nicht darstellbar als Bruch"). Was mich nun interessiert: Heißt das jetzt, dass die Irrationalität von $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ etc überhaupt nur indirekt bewiesen werden kann, oder wäre auch ein direkter Beweis möglich? Meine Ideen: .
14.04.2011, 09:00	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das Wort irrational ist ja eine negative Definition von rational. Wenn man nachweisst, dass diese Wurzel nicht rational sein kann, bestätigt man doch die Irrationalität direkt..(?). ---------------------------------------- Man müsste eine positive Eigenschaft nachweisen können. Früher lernte man noch Wurzelziehen per Hand. Nicht als Näherung per Iteration, sondern schön eine Dezimalstelle nach der Anderen ( ist eigentlich auch eine Iteration ). Der Nenner variert bei jeder Stelle ein wenig. Dieser Prozess findet kein Ende. deshalb:... Wieder ist das "Nicht" im Spiel, also wieder NICHT-rational...
14.04.2011, 09:03	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkter Beweis für die Irrationalität von Wurzel(2) möglich? Naja, es gibt da z.B. den Satz: Die rationalen Nullstellen eines normierten Polynoms $\begin{eqnarray} x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0 \in \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray}$ sind alle ganzzahlig und Teiler von $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ . Der Beweis ist übrigens eine leichte Übungsaufgabe... Wenn man sich also die Nullstellen von $\begin{eqnarray} x^2-2 \end{eqnarray}$ ansieht, unter denen ja auch $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ ist, so sieht man, dass $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ unter den potenziellen rationalen Nullstellen, nämlich den Teilern von 2, d.h., -2,-1,1,2, nicht dabei ist...
22.10.2022, 22:48	AnonymerUser	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzteres ist eher ein Beweis dafür dass Wurzel 2 keine ganze Zahl ist, weil gefordert wird, dass das Polynom element Z[x] ist.... für ein Reelles Polynom ist der veralgemeinerte Satz, dass das Produkt der Nullstellen a0 ergibt. Indem fall die 2 Nullstellen Wurzel 2 und Wurzel 2, welche multipliziert 2 ergeben. Beispiel: das Polynom (x-1/2)(x-4) = x^2-9/2x+2 hat die Nullstellen 1/2 und 4, welche NICHT in den ganzzahlizen Teilern von 2 stecken...
26.10.2022, 23:11	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkter Beweis für die Irrationalität von Wurzel(2) möglich? Dein Satz lautet: Falls q eine rationale Nullstelle eines normierten Polynoms aus Z[x] ist, dann folgt: q ist ganzzahlig und Teiler von a0. (1) Z := Menge der ganzen Zahlen Aus Satz (1) kann man in der Tat die Irrationalität von Wurzel(2) folgern. Und das geht so: Wurzel(2) ist definitorisch eine Nullstelle des normierten Polynoms P(x) := x**2 - 2 aus Z[x]. (2) Indirekter Beweis: Annahme: Wurzel(2) ist rational Dann folgt aus (1) und (2): Wurzel(2) ist ganzzahlig und ein Teiler von -2 => Widerspruch. Die Irrationalität von Wurzel(2) ist bewiesen, aber es ist wiederum nur ein indirekter Beweis. Außerdem: Bei einem potentiellen direkten Beweis der Irrationalität von Wurzel(2) muss ersichtlich sein, dass alle im Beweis verwendeten Sätze nicht selbst über indirekte Beweise bewiesen wurden. Keine leichte Aufgabe.

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