Sigma-Algebra über den natürlichen Zahlen

14.04.2011, 08:38

Shortstop

Sigma-Algebra über den natürlichen Zahlen

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe bereitet mir momentan Probleme, da ich keinen Weg finde das Problem in endlicher Zeit zu lösen.

Also, sei $\begin{eqnarray*} C_n= \{ \{ 1 \}, \{ 2 \}, .... ,\{ n \} \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_n := \sigma (C_n) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

a) $\begin{eqnarray*} F_n= \{ A \subseteq \mathbb N : A \subseteq \{1,...,n\} \ oder \ \{n+1,n+2,...\} \subseteq A \} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} F_n \subseteq F_{n+1} \end{eqnarray*}$

Wie schon gesagt, das ist das erste Übungsblatt zu diesem Thema und mir fehlt hier ein Ansatz. Ist es doch so, dass $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ (abzählbar ?) unendlich ist und ich somit nicht so einfach die Äquivalenz zeigen kann. Vielleicht sehe ich auch einfach nur den Wald vor lauter Bäumen nicht...vielleicht kann mir ja jemand mal einen Schubser in die richtige Richtung geben?!

Wink

14.04.2011, 09:05

René Gruber

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Zitat:

Original von kvnb
Ist es doch so, dass $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ (abzählbar ?) unendlich ist

Da irrst du dich: $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ ist endlich, konkret gilt für dessen Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} |F_n| = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Übrigens hast du "vergessen" zu erwähnen, dass deine Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist, ein nicht unwichtiges Detail!

Tatsächlich gilt, dass eine Sigma-Algebra entweder endlich (in dem Fall dann eine Zweierpotenz) oder überabzählbar viele Elemente enthält, d.h., der Fall abzählbar unendlich ist bei Sigma-Algebra-Mächtigkeiten nicht möglich. unglücklich

14.04.2011, 09:08

Shortstop

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Du hast natürlich Recht, ich komme nun auch auf $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^n \end{eqnarray*}$ .

Ich hab auch eine Vorstellung davon, wie $\begin{eqnarray*} F_n \end{eqnarray*}$ aussieht, es mangelt mir nur an einer Idee die Gleichheit der Mengen geschickt zu zeigen.

14.04.2011, 09:14

René Gruber

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Das geht, indem du zwei Sachen zeigst:

(1) Die angegebene Menge ist eine Sigma-Algebra, d.h., durch Nachweis der entsprechenden geforderten Eigenschaften.

(2) Die Sigma-Algebra kann nicht kleiner sein als angegeben, weil all die darin enthaltenen Mengen wegen der Forderung $\begin{eqnarray*} C_n\subseteq F_n \end{eqnarray*}$ darin enthalten sein müssen, was man durch diverse Vereinigungen/Komplemente der Mengen aus $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ konstruktiv angeben kann.

14.04.2011, 09:20

Shortstop

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Danke, klingt machbar. Ich werd mich heute nach der Uni mal daran versuchen. Eine Frage habe ich noch: Mir kam so ein flüchtiger Gedanke, dass man das Ganze vielleicht auch mit Induktion zeigen könnte, da die Menge für n=1 ja greifbar ist und im Induktionsschritt nur ein erzeugendes Element dazu kommt. Oder wäre das Zeitverschwendung, in diese Richtung zu gehen?

14.04.2011, 09:27

René Gruber

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Ich bin mir nicht so richtig sicher, ob hier der induktive Zugang argumentative Vorteile bringt. Klar, du kannst im Induktionsschritt dann

$\begin{eqnarray*} \sigma(C_{n+1}) = \sigma(C_n \cup \{\{n+1\}\}) \stackrel{!}{=} \sigma(F_n \cup \{\{n+1\}\}) \end{eqnarray*}$

nutzen, was die Sache vielleicht vereinfacht ... Musst du selbst entscheiden. Augenzwinkern

14.04.2011, 18:03

Shortstop

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Habs jetzt auf dem Weg gelöst, den du mir als Erstes gesagt hast. Hat gut geklappt, danke dir nochmal! smile

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