Irreduzible Polynome 1 [KAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzible Polynome 1 [KAB]
Zitat:
Das Polynom ist irreduzibel in . Ja/nein


So, da es eine Multiple Choice Aufgabe ist, denke ich man wird das recht schnell "einschätzen" sollen. Kann ich aber noch nicht. Hättet ihr ein paar Tipps, Frage, die ich mir bei so einer Aufgabe stellen muss? Dann habe ich bei den nächsten vielleicht schon mehr Ideen.

Irreduzibel heißt, dass für jede Faktorisierung des Polynoms folgt, dass mind. ein Faktor eine Einheit in ist. Stellt sich also schon mal die Frage, wie sehen hier die Einheiten aus. Gibt es mehr als das konstante Polynom p=1?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibe Polynome 1 [KAB]
Ja, wenn die Hochzahlen der involvierten Monome alle gerade sind, kann man die Frage superschnell beantworten... Augenzwinkern

Edit: Irreduzibel heißt übrigens für ein Polynom über einem Körper, dass es nicht nichtkonstant und nicht als Produkt von Polynomen kleineren Grades darstellbar ist... Mit Einheiten hat das also nichts zu tun...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibe Polynome 1 [KAB]
Man schon ... Also Schnelltest

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
(x^5+x^2+1)^2;
                              5    2     2
                            (x  + x  + 1)

> R0 := expand((x^5+x^2+1)^2);

                      10      7      5    4      2
               R0 := x   + 2 x  + 2 x  + x  + 2 x  + 1

> 


Aus der 2 wird hier eine 0, und damit , also reduzibel. Haut der Ansatz allgemein hin, also über ?

Zur Definition:
Dann muss ich das mit reduziblen Elementen in einem Ring [Polynomring? verwirrt ] verwechseln... Es muss im Skript aber nicht immer ein Körper sein... Der Begriff reduzibel wird für Polynome auch nicht extra getroffen.

Beispiel:
ist irreduzibel in, aber reduzibel in , weil 2 keine Einheit in ist....
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibe Polynome 1 [KAB]
Du solltest hier vor allem an die Formel



denken, wobei in Ringen der Charakteristik 2 der zweite Summand auf der rechten Seite 0 wird...

Und ja, Polynome über Körpern werden in der Praxis so oft betrachtet, dass es sich durchaus lohnt, sich die allgemeine Definition von irreduziblen Polynomen über allgemeinen Ringen für diesen Spezialfall genauer anzusehen, da sie hier viel, viel einfacher ist... Augenzwinkern

Edit: In deinem obigen Beispiel funktioniert das natürlich nicht, da ja bekanntermaßen kein Körper ist... Da musst du dann die allgemeine Definition nehmen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibe Polynome 1 [KAB]
Ok, und dann erschlägt man damit auch mein zweites von 4 Beispielen



über . Die Formel werde ich mir dann noch mal genauer anschauen. Freude
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibe Polynome 1 [KAB]
Zitat:
Original von tigerbine
Die Formel werde ich mir dann noch mal genauer anschauen. Freude

Ist einfach die Verallgemeinerung der binomischen Formel auf mehr Summanden (hatte aber in der ersten Formulierung noch einen LaTeX-Fehler drin, durch durch Copy&Paste entstanden war)... Augenzwinkern
 
 
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