Vollständige Induktion beweisen

14.04.2011, 12:40

chillerStudent

Vollständige Induktion beweisen

Meine Frage:
Hallo,

ich muss folgendes durch Induktion beweisen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Induktionsanfang: n=1
1 = 1

Induktionsannahme:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum\limits_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Ist das bis hier hin richtig? Wenn ja, wie rechne ich jetzt weiter?

14.04.2011, 13:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion beweisen
Fasse die Terme auf der rechten Seite zusammen.
Tipp: am besten klammerst du vorher noch (n+1) aus.

14.04.2011, 18:48

chillerStudent

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp!

Hab jetzt n+1 ausgeklammert und bekomme nun dieses ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{8n^3+21n^2+25n+12}{6} \end{eqnarray*}$

ist das richtig? wenn ja, wie kann ich das in eine Klammerform bringen?

14.04.2011, 18:59

chillerStudent

Auf diesen Beitrag antworten »

ups hab nochmal nachgerechnet. Hatte einen dicken rechenfehler.

Nun hab ich so was hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^2+7n+6}{6}*(n+1) \end{eqnarray*}$

Kann ich das irgendwie noch irgendwie in einer vereinfachten form schreiben?

14.04.2011, 22:38

Pseudonym

Auf diesen Beitrag antworten »

versuche den zähler des bruches durch additionen der art + a - a auf eine form zu bringen,
in der du einen faktor ausklammern kannst.

tipp: was fehlt noch im zähler, damit du eine binomische formel anwenden kannst?

14.04.2011, 23:03

chillerStudent

Auf diesen Beitrag antworten »

den ersten Satz versteh ich nicht.
was dein tipp angeht, muss ich den zähler durch 2 teilen, damit ich die binomische formel anwenden kann?

bringt ausklammern hier was?
also:
n[2n+7+(6/n)]

15.04.2011, 08:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion beweisen
Mit Blick auf das, was rauskommen soll, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$ , kann man sich ja mal überlegen, ob eventuell rein zufällig $\begin{eqnarray*} 2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3) \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

15.04.2011, 12:12

chillerStudent

Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir aber trotzdem erklären, wie ich von diesem polynom auf die geklammerte version komme?

15.04.2011, 12:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion beweisen
Was soll man da groß erklären? Es ist eben $\begin{eqnarray*} 2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3) \end{eqnarray*}$ , wie man leicht nachrechnet.

Wenn die Frage eher dahin geht, wie man ein Polynom faktorisieren kann, dann lautet die Methode:
bestimme die Nullstellen und mache Polynomdivision. Augenzwinkern

15.04.2011, 14:13

Pseudonym

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von chillerStudent
den ersten Satz versteh ich nicht.

Hi,

ich meinte folgendes:

$\begin{eqnarray*} 2n^2+7n+6 = 2n^2 + 7n + 6 + n - n + 2 - 2 \end{eqnarray*}$

wenn du jetzt zusammenfasst, solltest du sehen, worauf das hinausläuft.

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion beweisen

Verwandte Themen